Questão 1. Identifique, discuta e esboce as superfícies de equações:
x^{2}-4=0

Passo 1

O enunciado dá a equação da superfície
x^{2}-4=0
e pede que eu identifique, discuta e esboce a(s) superfície(s) correspondente(s). Informações e perguntas explícitas:
  • Informação dada: a relação algébrica entre as coordenadas (x,y,z) na forma \,x^{2}-4=0.
  • O que é pedido:
    1. Identificar quais pontos de \mathbb{R}^{3} satisfazem essa equação (ou seja, qual é a(s) superfície(s)).
    2. Discutir propriedades geométricas (tipo de superfície, orientação, conectividade, etc.).
    3. Explicar como esboçar graficamente essa(s) superfície(s).

Passo 2

Resolver a equação em termos de x. Começo por manipular a expressão algébrica:
x^{2}-4=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}=4.
Posso fatorar o polinômio usando a diferença de quadrados:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Pela propriedade do produto nulo, um produto é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero, logo
(x-2)(x+2)=0 \quad\Longrightarrow\quad x-2=0 \\ \text{ou}\\ x+2=0,
ou seja,
x=2 \quad\text{ou}\quad x=-2.
(Isto é a solução algébrica: os valores de x que satisfazem a equação são \pm 2.)

Passo 3

Interpretar o conjunto solução em \mathbb{R}^{3}. A equação não envolve y nem z; portanto para cada par (y,z)\in\mathbb{R}^{2} qualquer, se x vale um dos valores encontrados a relação é satisfeita. Assim os pontos solução têm coordenadas do tipo
(2,y,z)\quad\text{ou}\quad(-2,y,z),
com y e z variando livremente em \mathbb{R}. Esses conjuntos são planos (porque fixamos x= constante e deixamos y,z livres). Uma forma paramétrica de cada plano é
(2,s,t)\quad\text{e}\quad(-2,s,t),\qquad s,t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Discussão das propriedades geométricas (explicando cada ponto com calma):
  • Tipo de superfície: são planos retos infinitos (planos afins) — não curvas, não superfícies curvadas.
  • Orientação e normal: um plano dado por x=c tem vetor normal paralelo ao eixo x. Podemos ver isso pelo gradiente da função F(x,y,z)=x^{2}-4: \nabla F=(2x,0,0).Avaliando em x=2 ou x=-2 obtemos \nabla F=(4,0,0) ou \nabla F=(-4,0,0), ambos colineares com (1,0,0). Logo o normal aponta ao longo do eixo x e os planos são perpendiculares ao eixo x.
  • Paralelismo: os dois planos são paralelos entre si porque têm a mesma normal (1,0,0).
  • Distância ao plano x=0 (origem): cada plano está à distância |2| do plano x=0 ao longo do eixo x.
  • Conectividade: o conjunto solução é a união de duas componentes desconexas (dois planos distintos), portanto não é uma superfície conectada.
  • Classificação como quádricas: a equação x^{2}-4=0 é uma quádtrica degenerada — em vez de produzir uma superfície curva (como um elipsoide ou hipérbole), ela se decompõe em duas hipersuperfícies planas (fatores lineares).

Passo 5

Como esboçar passo a passo (pra você fazer na prova com caneta e papel):
  1. Desenhe os três eixos coordenados x, y, z. Um jeito simples: coloque o eixo x horizontal para a direita, o eixo y horizontal para a esquerda-obliquamente ou para fora do plano, e o eixo z vertical — o importante é localizar o eixo x.
  2. Marque no eixo x os pontos x=2 e x=-2.
  3. Em cada uma dessas posições desenhe um plano paralelo ao plano yz (isto é, um retângulo grande perpendicular ao eixo x). Como y e z variam livremente, o plano se estende infinitamente nas direções y e z; no esboço basta indicar retângulos grandes ou linhas paralelas sugerindo isso.
  4. Identifique-os com as equações x=2 e x=-2. Em perspectiva, aparecerão como duas “portas paralelas” ou duas folhas planas separadas, uma à direita e outra à esquerda do plano x=0.

Passo 6

Observações práticas e variações rápidas para fixar a ideia (pequena aula de visualização):
  • Problema similar: se a equação fosse y^{2}-1=0 então a solução seriam os planos y=1 e y=-1.
  • Se fosse x^{2}=0 teríamos apenas o plano único x=0.
  • Se fosse x^{2}+1=0 não haveria solução real (nenhum ponto em \mathbb{R}^{3} satisfaz), porque x^{2}\ge 0 para todo x.
  • Em geral, uma equação polinomial que fatoriza em fatores lineares (como (x-2)(x+2)=0) representa na prática a união das hipersuperfícies definidas por cada fator linear separado.

Resposta

Os pontos que satisfazem \,x^{2}-4=0 formam a união de dois planos paralelos: x=2 e x=-2.

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