Questão 1. Identifique, discuta e esboce as superfícies de equações:
Passo 1
O enunciado dá a equação da superfície
e pede que eu identifique, discuta e esboce a(s) superfície(s) correspondente(s). Informações e perguntas explícitas:
- Informação dada: a relação algébrica entre as coordenadas
na forma . - O que é pedido:
- Identificar quais pontos de
satisfazem essa equação (ou seja, qual é a(s) superfície(s)). - Discutir propriedades geométricas (tipo de superfície, orientação, conectividade, etc.).
- Explicar como esboçar graficamente essa(s) superfície(s).
- Identificar quais pontos de
Passo 2
Resolver a equação em termos de
. Começo por manipular a expressão algébrica:
Posso fatorar o polinômio usando a diferença de quadrados:
Pela propriedade do produto nulo, um produto é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero, logo
ou seja,
(Isto é a solução algébrica: os valores de
que satisfazem a equação são
.)
Passo 3
Interpretar o conjunto solução em
. A equação não envolve
nem
; portanto para cada par
qualquer, se
vale um dos valores encontrados a relação é satisfeita. Assim os pontos solução têm coordenadas do tipo
com
e
variando livremente em
. Esses conjuntos são planos (porque fixamos
constante e deixamos
livres). Uma forma paramétrica de cada plano é
Passo 4
Discussão das propriedades geométricas (explicando cada ponto com calma):
- Tipo de superfície: são planos retos infinitos (planos afins) — não curvas, não superfícies curvadas.
- Orientação e normal: um plano dado por
tem vetor normal paralelo ao eixo . Podemos ver isso pelo gradiente da função : Avaliando em ou obtemos ou , ambos colineares com . Logo o normal aponta ao longo do eixo e os planos são perpendiculares ao eixo . - Paralelismo: os dois planos são paralelos entre si porque têm a mesma normal
. - Distância ao plano
(origem): cada plano está à distância do plano ao longo do eixo . - Conectividade: o conjunto solução é a união de duas componentes desconexas (dois planos distintos), portanto não é uma superfície conectada.
- Classificação como quádricas: a equação
é uma quádtrica degenerada — em vez de produzir uma superfície curva (como um elipsoide ou hipérbole), ela se decompõe em duas hipersuperfícies planas (fatores lineares).
Passo 5
Como esboçar passo a passo (pra você fazer na prova com caneta e papel):
- Desenhe os três eixos coordenados
, , . Um jeito simples: coloque o eixo horizontal para a direita, o eixo horizontal para a esquerda-obliquamente ou para fora do plano, e o eixo vertical — o importante é localizar o eixo . - Marque no eixo
os pontos e . - Em cada uma dessas posições desenhe um plano paralelo ao plano
(isto é, um retângulo grande perpendicular ao eixo ). Como e variam livremente, o plano se estende infinitamente nas direções e ; no esboço basta indicar retângulos grandes ou linhas paralelas sugerindo isso. - Identifique-os com as equações
e . Em perspectiva, aparecerão como duas “portas paralelas” ou duas folhas planas separadas, uma à direita e outra à esquerda do plano .
Passo 6
Observações práticas e variações rápidas para fixar a ideia (pequena aula de visualização):
- Problema similar: se a equação fosse
então a solução seriam os planos e . - Se fosse
teríamos apenas o plano único . - Se fosse
não haveria solução real (nenhum ponto em satisfaz), porque para todo . - Em geral, uma equação polinomial que fatoriza em fatores lineares (como
) representa na prática a união das hipersuperfícies definidas por cada fator linear separado.
Resposta
Os pontos que satisfazem
formam a união de dois planos paralelos:
e
.