A função \sqrt{\;\cdot\;} retorna sempre um número não negativo.
Para x com grande módulo, os termos de maior potência dominam o comportamento das expressões (ou seja, x^{6} e x^{3} serão os termos principais aqui).
Vou usar manipulações algébricas para “fatorar” os termos dominantes e aplicar regras básicas de limites (continuidade de operações básicas, limites de quocientes quando denominador não zera no limite, etc.).
Passo 2
Estratégia e ferramenta principal: fatorar a potência dominante dentro da raiz e usar a identidade \sqrt{a b}=\sqrt{a}\sqrt{b} (quando a,b\ge0). Depois simplificar dividindo numerador e denominador por x^{3}. Primeiro manipulação algébrica:
Intuição rápida: o numerador cresce como 3\left|x^{3}\right| (sempre positivo) e o denominador cresce como x^{3} (positivo para x\to\infty, negativo para x\to-\infty), daí os sinais finais +3 e -3.
Passo 5
Resumo final e encorajamento: o procedimento foi fatorar o termo dominante dentro da raiz, reconhecer o valor absoluto, dividir por x^{3} para obter expressões que tendem a constantes e usar continuidade. Esse é o método padrão para limites de funções racionais com raízes de potências. Vai dar tudo certo na prova — pratica esse tipo de fatoração umas 3 vezes e fica na mão!