1. \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{9 x^{6}-x}}{x^{3}+1}
  2. \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{9 x^{6}-x}}{x^{3}+1}

Passo 1

Vou organizar o que o enunciado pede e quais expressões temos para analisar.
  • Há duas limites solicitados:
    1. \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^{6}-x}}{x^{3}+1}.
    2. \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{9x^{6}-x}}{x^{3}+1}.
  • Informações relevantes:
    • A função \sqrt{\;\cdot\;} retorna sempre um número não negativo.
    • Para x com grande módulo, os termos de maior potência dominam o comportamento das expressões (ou seja, x^{6} e x^{3} serão os termos principais aqui).
    • Vou usar manipulações algébricas para “fatorar” os termos dominantes e aplicar regras básicas de limites (continuidade de operações básicas, limites de quocientes quando denominador não zera no limite, etc.).

Passo 2

Estratégia e ferramenta principal: fatorar a potência dominante dentro da raiz e usar a identidade \sqrt{a b}=\sqrt{a}\sqrt{b} (quando a,b\ge0). Depois simplificar dividindo numerador e denominador por x^{3}. Primeiro manipulação algébrica:
\sqrt{9x^{6}-x}=\sqrt{x^{6}\left(9-\dfrac{1}{x^{5}}\right)}=\left|x^{3}\right|\sqrt{9-\dfrac{1}{x^{5}}}.
Explicando com calma:
  • Foi tirado x^{6} em evidência dentro da raiz; como x^{6}\ge0 sempre, isso é válido.
  • \sqrt{x^{6}}=\left|x^{3}\right| (porque a raiz quadrada dá o valor não negativo).
  • O fator restante é \sqrt{9-\dfrac{1}{x^{5}}}, que tende para \sqrt{9} quando x\to\pm\infty.
Agora a expressão original fica, para x genérico (com x\neq0 para poder dividir por x^{3}):
\frac{\sqrt{9x^{6}-x}}{x^{3}+1}=\frac{\left|x^{3}\right|\sqrt{9-\dfrac{1}{x^{5}}}}{x^{3}+1}.

Passo 3

Cálculo do limite quando x\to\infty.
Para x\to\infty temos \left|x^{3}\right|=x^{3}. Substituindo:
\frac{\sqrt{9x^{6}-x}}{x^{3}+1} =\frac{x^{3}\sqrt{9-\dfrac{1}{x^{5}}}}{x^{3}+1}.
Divido numerador e denominador por x^{3} (operacão válida para x\neq0):
\frac{x^{3}\sqrt{9-\dfrac{1}{x^{5}}}}{x^{3}+1} =\frac{\sqrt{9-\dfrac{1}{x^{5}}}}{1+\dfrac{1}{x^{3}}}.
Agora uso que \sqrt{9-\dfrac{1}{x^{5}}} é contínua perto do infinito e que \dfrac{1}{x^{3}}\to0 quando x\to\infty. Portanto:
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^{6}-x}}{x^{3}+1} =\frac{\sqrt{9-0}}{1+0}=\frac{3}{1}=3.

Passo 4

Cálculo do limite quando x\to-\infty.
Para x\to-\infty temos \left|x^{3}\right|=-x^{3} porque x^{3} é negativo e o valor absoluto torna positivo. Assim:
\frac{\sqrt{9x^{6}-x}}{x^{3}+1} =\frac{-x^{3}\sqrt{9-\dfrac{1}{x^{5}}}}{x^{3}+1}.
Dividindo numerador e denominador por x^{3} (novamente válido para x\neq0):
\frac{-x^{3}\sqrt{9-\dfrac{1}{x^{5}}}}{x^{3}+1} =-\frac{\sqrt{9-\dfrac{1}{x^{5}}}}{1+\dfrac{1}{x^{3}}}.
Tomando limite quando x\to-\infty, temos \dfrac{1}{x^{5}}\to0 e \dfrac{1}{x^{3}}\to0, e pela continuidade da raiz:
\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{9x^{6}-x}}{x^{3}+1} =-\frac{\sqrt{9-0}}{1+0}=-\frac{3}{1}=-3.
Intuição rápida: o numerador cresce como 3\left|x^{3}\right| (sempre positivo) e o denominador cresce como x^{3} (positivo para x\to\infty, negativo para x\to-\infty), daí os sinais finais +3 e -3.

Passo 5

Resumo final e encorajamento: o procedimento foi fatorar o termo dominante dentro da raiz, reconhecer o valor absoluto, dividir por x^{3} para obter expressões que tendem a constantes e usar continuidade. Esse é o método padrão para limites de funções racionais com raízes de potências. Vai dar tudo certo na prova — pratica esse tipo de fatoração umas 3 vezes e fica na mão!

Resposta

  1. 3
  2. -3

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