9 Definição Seja f uma função definida em algum intervalo ( a, \infty ). Então
\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty
significa que para todo positivo M existe um correspondente número positivo N tal que se \quad x>N \quad então \quad f(x)>M.

Passo 1

O enunciado dá uma definição formal e pede que você entenda o que significa a afirmação
\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty,
ou seja, queremos saber exatamente o que essa igualdade quer dizer, em palavras e em prática. As informações dadas são: a função f está definida em algum intervalo (a,\infty) e a definição envolve os quantificadores “para todo M>0 existe N>0 tal que se x>N então f(x)>M”. O objetivo é compreender essa definição, ver a intuição geométrica e aprender a aplicar para provar que funções divergem para +\infty (ou não), usando o esquema “dado M escolher N adequado”.

Passo 2

Entendendo os quantificadores (a parte mais importante): a frase “para todo M>0 existe N>0 tal que se x>N então f(x)>M” tem três pedaços que devemos apanhar:
  • “para todo M>0”: eu posso escolher qualquer número positivo M (pensar: um patamar muito alto).
  • “existe N>0”: para cada patamar M eu consigo encontrar um ponto N na reta dos x.
  • “se x>N então f(x)>M”: a partir desse ponto N em diante (para todos x maiores que N), os valores de f(x) ficam acima do patamar M.
    Em linguagem comum: não importa o quão grande você peça (qual M>0), a função f(x) eventualmente ultrapassa esse valor e permanece acima dele para todo x suficientemente grande.

Passo 3

Intuição geométrica (imaginação visual): no gráfico y=f(x), a afirmação \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty significa que as alturas y=f(x) sobem indefinidamente à medida que vamos para a direita no eixo x. Para qualquer reta horizontal y=M que você desenhar, existe uma abscissa x=N de modo que toda a curva à direita de x=N esteja acima dessa reta y=M.

Passo 4

Forma prática de usar a definição numa prova: para mostrar \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty siga este roteiro:
  1. Comece dizendo: “Seja dado um M>0 arbitrário.”
  2. A ideia é construir explicitamente um N=N(M)>0 em função de M.
  3. Prove algebricamente que para esse N vale: se x>N então f(x)>M.
  4. Como M era arbitrário, a definição fica satisfeita e a conclusão segue.
Vou mostrar exemplos concretos seguindo esse roteiro — isso é o que você deve fazer numa prova.

Passo 5

Exemplo 1: provar que \lim_{x\to\infty} x = \infty.
Dado M>0. Escolha
N := M.
Se x>N então x>M, logo f(x)=x>M. Assim, para todo M>0 existe N=M tal que x>N\Rightarrow x>M. Portanto
\lim_{x\to\infty} x = \infty.

Passo 6

Exemplo 2: provar que \lim_{x\to\infty} x^2 = \infty.
Dado M>0. Queremos x^2>M sempre que x>N. Uma escolha natural é tomar N=\max\{1,\sqrt{M}\}. Por que?
  • Se x>N\ge \sqrt{M} então x^2 > (\sqrt{M})^2 = M.
  • Tomar N\ge1 evita problemas se M<1 (não é essencial, mas deixa a argumentação limpa).
    Logo, para esse N vale x>N\Rightarrow x^2>M. Como M era arbitrário, concluímos
\lim_{x\to\infty} x^2 = \infty.

Passo 7

Exemplo 3: função linear \,f(x)=ax+b com a>0. Provar \lim_{x\to\infty} (ax+b)=\infty.
Dado M>0. Queremos ax+b>M. Resolva para x:
ax+b>M \quad\Longleftrightarrow\quad x>\frac{M-b}{a}.
Então escolha
N:=\max\left\{a,\,\frac{M-b}{a}\right\}
ou simplesmente N=\frac{M-b}{a} se quiser. Para esse N, se x>N então ax+b>M. Portanto \lim_{x\to\infty}(ax+b)=\infty quando a>0.

Passo 8

Exemplo 4: \lim_{x\to\infty}\ln x = \infty.
Dado M>0. Queremos \ln x > M. Isso equivale a x>e^{M}. Então escolha
N := e^{M}.
Se x>N então \ln x > \ln e^{M} = M. Portanto \lim_{x\to\infty}\ln x = \infty.

Passo 9

Regras úteis (e rápidas provas por desigualdades) que você deve dominar para a prova:
  1. Se \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty e g(x) é qualquer função que satisfaça g(x)\ge f(x) para x grande o bastante (isto é, existe X tal que para todo x>X vale g(x)\ge f(x)), então \lim_{x\to\infty} g(x)=\infty. Prova: dado M>0 escolha N que funciona para f e tome N':=\max\{N,X\}. Para x>N' temos g(x)\ge f(x)>M.
  2. Se \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty e h(x) é limitada abaixo por uma constante C (isto é, h(x)\ge C para x grande), então \lim_{x\to\infty} (f(x)+h(x))=\infty, porque f(x)+h(x)\ge f(x)+C e f(x)+C\to\infty.
  3. Se \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty e g(x) satisfaz g(x)\ge c>0 para x grande, então \lim_{x\to\infty} f(x)\,g(x)=\infty, pois f(x)g(x)\ge c f(x) e c f(x)\to\infty.
  4. Se \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty e \lim_{x\to\infty} g(x)=\infty então \lim_{x\to\infty} (f(x)+g(x))=\infty e \lim_{x\to\infty} f(x)g(x)=\infty.
Essas afirmações se provam usando a definição: para dado M escolhe-se N que funciona para cada função e combina-se as escolhas.

Passo 10

Contraexemplos e cuidados (o que NÃO é necessariamente verdade):
  • Se f é oscilante e não cresce sem limite (por exemplo \sin x), então não vale \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty. Na verdade \sin x é limitado entre -1 e 1.
  • Ter f(x)\to\infty não implica que f seja monotônica; muitas funções podem subir, descer, mas no geral subir o suficiente para ultrapassar qualquer M a partir de certo ponto.
  • A afirmação “ f(x)\to\infty” é diferente de “ f(x) diverge” no sentido de não possuir limite finito — aqui sabemos especificamente que diverge para +\infty. Há divergências para -\infty ou oscilações sem limite que são diferentes.

Passo 11

Caracterização via sequências (útil em demonstrações): \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty é equivalente à afirmação: para toda sequência (x_n) com x_n\to\infty (isto é, x_n cresce sem limite), a sequência f(x_n)\to\infty. Esta equivalência costuma ser usada quando a demonstração lida com sequências ao invés de M- N. A prova dessa equivalência é um exercício direto, aplicando a definição com quantificadores ou contraposição.

Passo 12

Resumo do método prático para uma prova em prova/avaliação:
  • Comece com “Seja M>0 arbitrário.”
  • Resolva a desigualdade f(x)>M em termos de x e escolha um N explícito (ou uma expressão para N em função de M).
  • Mostre que para esse N vale: se x>N então f(x)>M.
  • Conclua que, como M era arbitrário, \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty significa: para todo M>0 existe N>0 tal que, para todo x>N, vale f(x)>M.

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