9 Definição Seja
uma função definida em algum intervalo (
). Então
significa que para todo positivo
existe um correspondente número positivo
tal que se
então
.
Passo 1
O enunciado dá uma definição formal e pede que você entenda o que significa a afirmação
ou seja, queremos saber exatamente o que essa igualdade quer dizer, em palavras e em prática. As informações dadas são: a função
está definida em algum intervalo
e a definição envolve os quantificadores “para todo
existe
tal que se
então
”. O objetivo é compreender essa definição, ver a intuição geométrica e aprender a aplicar para provar que funções divergem para
(ou não), usando o esquema “dado
escolher
adequado”.
Passo 2
Entendendo os quantificadores (a parte mais importante): a frase “para todo
existe
tal que se
então
” tem três pedaços que devemos apanhar:
- “para todo
”: eu posso escolher qualquer número positivo (pensar: um patamar muito alto). - “existe
”: para cada patamar eu consigo encontrar um ponto na reta dos . - “se
então ”: a partir desse ponto em diante (para todos maiores que ), os valores de ficam acima do patamar .
Em linguagem comum: não importa o quão grande você peça (qual), a função eventualmente ultrapassa esse valor e permanece acima dele para todo suficientemente grande.
Passo 3
Intuição geométrica (imaginação visual): no gráfico
, a afirmação
significa que as alturas
sobem indefinidamente à medida que vamos para a direita no eixo
. Para qualquer reta horizontal
que você desenhar, existe uma abscissa
de modo que toda a curva à direita de
esteja acima dessa reta
.
Passo 4
Forma prática de usar a definição numa prova: para mostrar
siga este roteiro:
- Comece dizendo: “Seja dado um
arbitrário.” - A ideia é construir explicitamente um
em função de . - Prove algebricamente que para esse
vale: se então . - Como
era arbitrário, a definição fica satisfeita e a conclusão segue.
Vou mostrar exemplos concretos seguindo esse roteiro — isso é o que você deve fazer numa prova.
Passo 5
Exemplo 1: provar que
.
Dado
. Escolha
Se
então
, logo
. Assim, para todo
existe
tal que
. Portanto
Passo 6
Exemplo 2: provar que
.
Dado
. Queremos
sempre que
. Uma escolha natural é tomar
. Por que?
- Se
então . - Tomar
evita problemas se (não é essencial, mas deixa a argumentação limpa).
Logo, para essevale . Como era arbitrário, concluímos
Passo 7
Exemplo 3: função linear
com
. Provar
.
Dado
. Queremos
. Resolva para
:
Então escolha
ou simplesmente
se quiser. Para esse
, se
então
. Portanto
quando
.
Passo 8
Exemplo 4:
.
Dado
. Queremos
. Isso equivale a
. Então escolha
Se
então
. Portanto
.
Passo 9
Regras úteis (e rápidas provas por desigualdades) que você deve dominar para a prova:
- Se
e é qualquer função que satisfaça para grande o bastante (isto é, existe tal que para todo vale ), então . Prova: dado escolha que funciona para e tome . Para temos . - Se
e é limitada abaixo por uma constante (isto é, para grande), então , porque e . - Se
e satisfaz para grande, então , pois e . - Se
e então e .
Essas afirmações se provam usando a definição: para dado
escolhe-se
que funciona para cada função e combina-se as escolhas.
Passo 10
Contraexemplos e cuidados (o que NÃO é necessariamente verdade):
- Se
é oscilante e não cresce sem limite (por exemplo ), então não vale . Na verdade é limitado entre e . - Ter
não implica que seja monotônica; muitas funções podem subir, descer, mas no geral subir o suficiente para ultrapassar qualquer a partir de certo ponto. - A afirmação “
” é diferente de “ diverge” no sentido de não possuir limite finito — aqui sabemos especificamente que diverge para . Há divergências para ou oscilações sem limite que são diferentes.
Passo 11
Caracterização via sequências (útil em demonstrações):
é equivalente à afirmação: para toda sequência
com
(isto é,
cresce sem limite), a sequência
. Esta equivalência costuma ser usada quando a demonstração lida com sequências ao invés de
-
. A prova dessa equivalência é um exercício direto, aplicando a definição com quantificadores ou contraposição.
Passo 12
Resumo do método prático para uma prova em prova/avaliação:
- Comece com “Seja
arbitrário.” - Resolva a desigualdade
em termos de e escolha um explícito (ou uma expressão para em função de ). - Mostre que para esse
vale: se então . - Conclua que, como
era arbitrário, .