Demonstre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas extraídas do enunciado:
- A função em questão é
, definida para . - O ponto de interesse é
(aproximação por valores positivos). - Note que
.
O que se pede: concluir que o limite acima é igual a.
Passo 2
Vamos estudar as duas partes que compõem o produto
separadamente: a parte
e a parte
. Primeiro, comportamento de
quando
.
Fato usado: a função
é contínua em
. Portanto
Explicando por que isso é plausível: à medida que
fica pequeno e positivo, sua raiz quadrada também fica pequena e tende a zero — formalmente, por continuidade ou pelo fato de
ser uma potência com expoente positivo.
Passo 3
Agora o comportamento da exponencial
quando
.
Fato usado: a função exponencial
é contínua em todo
. Como
é um número fixo, a função
tende a
quando
. Assim, pela continuidade da exponencial,
Em palavras: o expoente tende a zero, então a exponencial tende a
.
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade de limites para produtos: se
e
com
finitos, então
No nosso caso, com
e
, já vimos que
Portanto
Passo 5
Para reforçar a conclusão usando uma prova alternativa (mais elementar), podemos aplicar o princípio do confronto (squeeze theorem). Observação: para
tem-se
, mas o que nos interessa é que essa exponencial é limitada por uma constante perto de
. Como
, para
temos
Multiplicando por
obtemos, para
,
Como
, o teorema do confronto implica
Essa abordagem mostra que, mesmo sem usar diretamente a propriedade do produto de limites, o termo
força o produto a ir para zero porque a exponencial permanece limitada.
Passo 6
Resumo intuitivo e incentivo: a raiz quadrada de
vai para zero bem mais rapidamente (no sentido de anular o produto) do que a exponencial
varia (ela fica perto de
quando
é pequeno). Por isso o produto tende a zero. Vai dar certo na prova — mantenha a calma!