Demonstre que \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} e^{x \cos(\pi / 4)}=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar o valor do limite
\lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x}\,e^{x\cos(\pi/4)}.
Informações dadas e observações imediatas extraídas do enunciado:
  • A função em questão é f(x)=\sqrt{x}\,e^{x\cos(\pi/4)}, definida para x\ge 0.
  • O ponto de interesse é x\to 0^{+} (aproximação por valores positivos).
  • Note que \cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}>0.
    O que se pede: concluir que o limite acima é igual a 0.

Passo 2

Vamos estudar as duas partes que compõem o produto \sqrt{x}\,e^{x\cos(\pi/4)} separadamente: a parte \sqrt{x} e a parte e^{x\cos(\pi/4)}. Primeiro, comportamento de \sqrt{x} quando x\to 0^{+}.
Fato usado: a função x\mapsto \sqrt{x}=x^{1/2} é contínua em [0,\infty). Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x}=\sqrt{0}=0.
Explicando por que isso é plausível: à medida que x fica pequeno e positivo, sua raiz quadrada também fica pequena e tende a zero — formalmente, por continuidade ou pelo fato de x^{1/2} ser uma potência com expoente positivo.

Passo 3

Agora o comportamento da exponencial e^{x\cos(\pi/4)} quando x\to 0^{+}.
Fato usado: a função exponencial y\mapsto e^{y} é contínua em todo \mathbb{R}. Como \cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} é um número fixo, a função x\mapsto x\cos(\pi/4) tende a 0 quando x\to0. Assim, pela continuidade da exponencial,
\lim_{x\to 0^{+}} e^{x\cos(\pi/4)} = e^{\,\lim_{x\to0^{+}} x\cos(\pi/4)} = e^{0}=1.
Em palavras: o expoente tende a zero, então a exponencial tende a e^0=1.

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade de limites para produtos: se \lim_{x\to a} g(x)=A e \lim_{x\to a} h(x)=B com A,B finitos, então
\lim_{x\to a} g(x)h(x)=AB.
No nosso caso, com g(x)=\sqrt{x} e h(x)=e^{x\cos(\pi/4)}, já vimos que
\lim_{x\to 0^{+}} g(x)=0\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^{+}} h(x)=1.
Portanto
\lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x}\,e^{x\cos(\pi/4)} = 0\cdot 1 = 0.

Passo 5

Para reforçar a conclusão usando uma prova alternativa (mais elementar), podemos aplicar o princípio do confronto (squeeze theorem). Observação: para x\ge 0 tem-se e^{x\cos(\pi/4)}\ge 1, mas o que nos interessa é que essa exponencial é limitada por uma constante perto de 0. Como \cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, para 0<x\le 1 temos
1 \le e^{x\cos(\pi/4)} \le e^{\cos(\pi/4)}.
Multiplicando por \sqrt{x}\ge 0 obtemos, para 0<x\le 1,
0 \le \sqrt{x}\,e^{x\cos(\pi/4)} \le \sqrt{x}\,e^{\cos(\pi/4)}.
Como \lim_{x\to 0^{+}}\sqrt{x}\,e^{\cos(\pi/4)}=e^{\cos(\pi/4)}\cdot 0=0, o teorema do confronto implica
\lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x}\,e^{x\cos(\pi/4)}=0.
Essa abordagem mostra que, mesmo sem usar diretamente a propriedade do produto de limites, o termo \sqrt{x} força o produto a ir para zero porque a exponencial permanece limitada.

Passo 6

Resumo intuitivo e incentivo: a raiz quadrada de x vai para zero bem mais rapidamente (no sentido de anular o produto) do que a exponencial e^{x\cos(\pi/4)} varia (ela fica perto de 1 quando x é pequeno). Por isso o produto tende a zero. Vai dar certo na prova — mantenha a calma!

Resposta

0

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