(a) Calcule
(i) \lim _{x \rightarrow-2^{-}}[x]
(ii) \lim _{x \rightarrow-2}[x]
(iii) \lim _{x \rightarrow-2.4}[x]

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que é dado. O enunciado solicita calcular três limites envolvendo a função [x]:
  • (i) \displaystyle \lim_{x\to -2^-} [x];
  • (ii) \displaystyle \lim_{x\to -2} [x];
  • (iii) \displaystyle \lim_{x\to -2{,}4} [x].
Dado: a função [x] aparece no enunciado (notação habitual para a parte inteira / função piso). Não começo a resolver ainda; só identifiquei os pedidos e a função envolvida.

Passo 2

Definição e ideias principais (aulas rápidas e práticas).
  • A notação [x] aqui significa a função piso, também escrita \lfloor x\rfloor. Por definição, \lfloor x\rfloor = \text{o maior inteiro menor ou igual a } x.Isso quer dizer: se x está entre dois inteiros n e n+1 com n\le x < n+1, então \lfloor x\rfloor = n.
  • Exemplos rápidos para fixar (são concretos e ajudam a entender comportamento perto de pontos): \lfloor 2{,}3\rfloor = 2,\qquad \lfloor -1{,}2\rfloor = -2,\qquad \lfloor -2\rfloor = -2.Repare que para números negativos a parte inteira “pula” para o inteiro mais negativo: \lfloor -1{,}2\rfloor=-2.
  • Importante para limites: \lfloor x\rfloor é constante em cada intervalo do tipo [n,n+1). Em inteiros a função tem salto: ao aproximar n pela esquerda, os valores são n-1; pela direita, são n.

Passo 3

Como calcular limites envolvendo \lfloor x\rfloor.
  • Para um ponto a que NÃO é inteiro, existe um intervalo aberto ao redor de a contido em um mesmo intervalo [n,n+1). Nesse caso \lfloor x\rfloor é constante perto de a, logo o limite bidirecional existe e é esse inteiro constante.
  • Para um ponto a inteiro, a função tem salto: o limite pela esquerda é a-1 (pois valores imediatamente à esquerda estão em (a-1,a) com piso a-1) e o limite pela direita é a (valores imediatamente à direita estão em [a,a+1) com piso a). Se esses dois não coincidem, o limite bilateral em a NÃO existe.
Agora aplico isso item por item.

Passo 4

Calcular (i) \displaystyle \lim_{x\to -2^-} [x].
  • Estamos aproximando -2 pela esquerda: então x<-2 e muito próximo de -2. Todos esses x estão no intervalo (-3,-2).
  • Para x\in(-3,-2) vale \lfloor x\rfloor = -3 (porque -3\le x< -2 dá piso -3).
  • Portanto o limite pela esquerda é \lim_{x\to -2^-} [x] = -3.

Passo 5

Calcular (ii) \displaystyle \lim_{x\to -2} [x].
  • Já sabemos o limite pela esquerda: \lim_{x\to -2^-}[x]=-3.
  • Agora o limite pela direita: para x>-2 e próximo de -2 temos x\in[-2,-1), logo \lfloor x\rfloor = -2.
    Assim \lim_{x\to -2^+}[x] = -2.
  • Como \lim_{x\to -2^-}[x] = -3 \neq -2 = \lim_{x\to -2^+}[x], o limite bilateral \lim_{x\to -2}[x] NÃO existe (porque as duas direções não coincidem).

Passo 6

Calcular (iii) \displaystyle \lim_{x\to -2{,}4} [x].
  • Observe que -3 < -2{,}4 < -2. O ponto -2{,}4 NÃO é inteiro.
  • Existe um pequeno intervalo ao redor de -2{,}4 contido em (-3,-2). Em todo esse intervalo a função é constante com valor -3.
  • Logo o limite bilateral existe e vale esse valor constante: \lim_{x\to -2{,}4} [x] = -3.

Resposta

(i) -3
(ii) não existe
(iii) -3

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