(a) Calcule
(i)
(ii)
(iii)
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que é dado. O enunciado solicita calcular três limites envolvendo a função
:
- (i)
; - (ii)
; - (iii)
.
Dado: a função
aparece no enunciado (notação habitual para a parte inteira / função piso). Não começo a resolver ainda; só identifiquei os pedidos e a função envolvida.
Passo 2
Definição e ideias principais (aulas rápidas e práticas).
- A notação
aqui significa a função piso, também escrita . Por definição, Isso quer dizer: se está entre dois inteiros e com , então - Exemplos rápidos para fixar (são concretos e ajudam a entender comportamento perto de pontos):
Repare que para números negativos a parte inteira “pula” para o inteiro mais negativo: . - Importante para limites:
é constante em cada intervalo do tipo . Em inteiros a função tem salto: ao aproximar pela esquerda, os valores são ; pela direita, são .
Passo 3
Como calcular limites envolvendo
.
- Para um ponto
que NÃO é inteiro, existe um intervalo aberto ao redor de contido em um mesmo intervalo . Nesse caso é constante perto de , logo o limite bidirecional existe e é esse inteiro constante. - Para um ponto
inteiro, a função tem salto: o limite pela esquerda é (pois valores imediatamente à esquerda estão em com piso ) e o limite pela direita é (valores imediatamente à direita estão em com piso ). Se esses dois não coincidem, o limite bilateral em NÃO existe.
Agora aplico isso item por item.
Passo 4
Calcular (i)
.
- Estamos aproximando
pela esquerda: então e muito próximo de . Todos esses estão no intervalo . - Para
vale (porque dá piso ). - Portanto o limite pela esquerda é
Passo 5
Calcular (ii)
.
- Já sabemos o limite pela esquerda:
. - Agora o limite pela direita: para
e próximo de temos , logo .
Assim. - Como
, o limite bilateral NÃO existe (porque as duas direções não coincidem).
Passo 6
Calcular (iii)
.
- Observe que
. O ponto NÃO é inteiro. - Existe um pequeno intervalo ao redor de
contido em . Em todo esse intervalo a função é constante com valor . - Logo o limite bilateral existe e vale esse valor constante:
Resposta
(i)
(ii) não existe
(iii)
(ii) não existe
(iii)