Primeira observação importante: como \displaystyle \lim_{x\to x_{0}} g(x)=\ell_{2} e \ell_{2}\neq 0, existe um entorno de x_{0} onde g(x) não se aproxima de zero — isto é, podemos garantir que g(x) fique afastado de zero. Formalmente, existe \delta_{1}>0 tal que, se 0<|x-x_{0}|<\delta_{1}, então
|g(x)-\ell_{2}|<\frac{|\ell_{2}|}{2}.
Dessa desigualdade, pela desigualdade triangular reversa, segue que, para tais x,
Isto reduz o problema a controlar duas quantidades simples: |f(x)-\ell_{1}| e |g(x)-\ell_{2}|.
Passo 6
Agora façamos a escolha formal de \delta em função do \varepsilon>0 dado. Queremos tornar a soma do lado direito menor que \varepsilon. Uma maneira prática é garantir que cada parcela seja menor que \varepsilon/2. Assim, exigimos:
(no caso \ell_{1}=0 podemos tomar qualquer \delta_{3}>0).
Finalmente, defina
\delta=\min(\delta_{1},\delta_{2},\delta_{3}).
Então, para todo x com 0<|x-x_{0}|<\delta temos simultaneamente: (i) |g(x)|>\dfrac{|\ell_{2}|}{2}, (ii) |f(x)-\ell_{1}|<\dfrac{\varepsilon|\ell_{2}|}{4}, e (iii) |g(x)-\ell_{2}|<\dfrac{\varepsilon|\ell_{2}|^{2}}{4|\ell_{1}|} (ou a condição (iii) é desnecessária se \ell_{1}=0). Substituindo essas estimativas na desigualdade do Passo 5 obtemos