Demonstre que:
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\ell_{1} \text { e } \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=\ell_{2} \neq 0 \text { então } \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\ell_{1}}{\ell_{2}}ã

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Dado um ponto x_{0}.
  • Sabemos que \displaystyle \lim_{x\to x_{0}} f(x)=\ell_{1}.
  • Sabemos que \displaystyle \lim_{x\to x_{0}} g(x)=\ell_{2} e que \ell_{2}\neq 0.
O que devemos demonstrar é a afirmação abaixo:
\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\ell_{1}}{\ell_{2}}.

Passo 2

Vou lembrar a definição de limite que vamos usar (epsilon–delta), explicando passo a passo: dizer que \lim_{x\to x_{0}} h(x)=L significa que
para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que sempre que 0<|x-x_{0}|<\delta vale |h(x)-L|<\varepsilon.
No nosso caso queremos provar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-x_{0}|<\delta, então
\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{\ell_{1}}{\ell_{2}}\right|<\varepsilon.

Passo 3

Primeira observação importante: como \displaystyle \lim_{x\to x_{0}} g(x)=\ell_{2} e \ell_{2}\neq 0, existe um entorno de x_{0} onde g(x) não se aproxima de zero — isto é, podemos garantir que g(x) fique afastado de zero. Formalmente, existe \delta_{1}>0 tal que, se 0<|x-x_{0}|<\delta_{1}, então
|g(x)-\ell_{2}|<\frac{|\ell_{2}|}{2}.
Dessa desigualdade, pela desigualdade triangular reversa, segue que, para tais x,
|g(x)|\ge |\ell_{2}|-|g(x)-\ell_{2}|>\\ |\ell_{2}|-\frac{|\ell_{2}|}{2}=\frac{|\ell_{2}|}{2}.
Essa estimativa é crucial porque nos dá um limite inferior positivo para |g(x)| perto de x_{0}, evitando divisão por algo muito pequeno.

Passo 4

Agora vamos manipular a expressão que queremos controlar. Fazendo uma álgebra simples:
\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{\ell_{1}}{\ell_{2}}\right| = \left|\frac{\ell_{2}f(x)-\ell_{1}g(x)}{g(x)\,\ell_{2}}\right| = \frac{1}{|g(x)|\,|\ell_{2}|}\,\left| \ell_{2}\bigl(f(x)-\ell_{1}\bigr)-\ell_{1}\bigl(g(x)-\ell_{2}\bigr)\right|.
Usando a desigualdade triangular \bigl|A-B\bigr|\le |A|+|B| obtemos
\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{\ell_{1}}{\ell_{2}}\right| \le \frac{|\ell_{2}|\,|f(x)-\ell_{1}| + |\ell_{1}|\,|g(x)-\ell_{2}|}{|g(x)|\,|\ell_{2}|} = \frac{|f(x)-\ell_{1}|}{|g(x)|} + \frac{|\ell_{1}|}{|\ell_{2}|}\cdot\frac{|g(x)-\ell_{2}|}{|g(x)|}.

Passo 5

Agora usamos a estimativa do Passo 3, |g(x)|>\dfrac{|\ell_{2}|}{2}, para simplificar os denominadores. Para 0<|x-x_{0}|<\delta_{1} temos
\frac{1}{|g(x)|} < \frac{2}{|\ell_{2}|}.
Substituindo essa desigualdade na estimativa do Passo 4, resulta
\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{\ell_{1}}{\ell_{2}}\right| \le \frac{2}{|\ell_{2}|}\,|f(x)-\ell_{1}| \;+\; \frac{2|\ell_{1}|}{|\ell_{2}|^{2}}\,|g(x)-\ell_{2}|.
Isto reduz o problema a controlar duas quantidades simples: |f(x)-\ell_{1}| e |g(x)-\ell_{2}|.

Passo 6

Agora façamos a escolha formal de \delta em função do \varepsilon>0 dado. Queremos tornar a soma do lado direito menor que \varepsilon. Uma maneira prática é garantir que cada parcela seja menor que \varepsilon/2. Assim, exigimos:
\frac{2}{|\ell_{2}|}\,|f(x)-\ell_{1}| < \frac{\varepsilon}{2} \quad\text{e}\quad \frac{2|\ell_{1}|}{|\ell_{2}|^{2}}\,|g(x)-\ell_{2}| < \frac{\varepsilon}{2}.
Essas desigualdades equivalem a
|f(x)-\ell_{1}| < \frac{\varepsilon|\ell_{2}|}{4} \quad\text{e}\quad |g(x)-\ell_{2}| < \frac{\varepsilon|\ell_{2}|^{2}}{4|\ell_{1}|}\quad\text{(se \(\ell_{1}\neq 0\))}.
Se \ell_{1}=0 então a segunda condição fica desnecessária, pois o termo com |\ell_{1}| é zero.
Como \lim_{x\to x_{0}} f(x)=\ell_{1} existe, existe \delta_{2}>0 tal que, sempre que 0<|x-x_{0}|<\delta_{2},
|f(x)-\ell_{1}|<\frac{\varepsilon|\ell_{2}|}{4}.
Como \lim_{x\to x_{0}} g(x)=\ell_{2} existe, existe \delta_{3}>0 tal que, sempre que 0<|x-x_{0}|<\delta_{3},
|g(x)-\ell_{2}|<\frac{\varepsilon|\ell_{2}|^{2}}{4|\ell_{1}|}
(no caso \ell_{1}=0 podemos tomar qualquer \delta_{3}>0).
Finalmente, defina
\delta=\min(\delta_{1},\delta_{2},\delta_{3}).
Então, para todo x com 0<|x-x_{0}|<\delta temos simultaneamente: (i) |g(x)|>\dfrac{|\ell_{2}|}{2}, (ii) |f(x)-\ell_{1}|<\dfrac{\varepsilon|\ell_{2}|}{4}, e (iii) |g(x)-\ell_{2}|<\dfrac{\varepsilon|\ell_{2}|^{2}}{4|\ell_{1}|} (ou a condição (iii) é desnecessária se \ell_{1}=0). Substituindo essas estimativas na desigualdade do Passo 5 obtemos
\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{\ell_{1}}{\ell_{2}}\right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.

Passo 7

Concluímos a prova no estilo epsilon–delta: para todo \varepsilon>0 encontramos \delta>0 (construído acima) tal que 0<|x-x_{0}|<\delta implica
\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{\ell_{1}}{\ell_{2}}\right|<\varepsilon.
Portanto vale a igualdade das limites desejada.

Resposta

\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\ell_{1}}{\ell_{2}}

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