Etudier a convergência da sequência:
u_{n}=\frac{1}{\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \displaystyle u_{n}=\frac{1}{\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}} e pede que a gente estude a convergência dela. As informações relevantes que temos são:
  • A sequência é definida para todo n\in\mathbb{N} por u_{n}=\dfrac{1}{\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}}.
  • A pergunta é: a sequência converge? Se sim, para que valor ela converge? Também é útil verificar se é monotônica e se é limitada.

Passo 2

Vamos simplificar a soma que aparece no denominador. Existe uma identidade clássica envolvendo somas de coeficientes binomiais:
\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}.
Vou explicar duas maneiras curtinhas de ver isso (escolha a que você achar mais intuitiva):
Método 1 — Teorema do binómio (expansão algébrica): o Teorema do Binômio diz que, para qualquer inteiro n\ge0,
(1+1)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{k}1^{\,n-k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}.
Mas (1+1)^{n}=2^{n}. Portanto \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^{n}.
Método 2 — Contagem combinatória (intuição): Num conjunto com n elementos, o número total de subconjuntos é a soma do número de subconjuntos de tamanho k para k=0,\dots,n. O número de subconjuntos de tamanho k é \binom{n}{k}, e o total de subconjuntos é 2^{n}. Então a soma dos \binom{n}{k} 2^{n}.
Qualquer um desses argumentos mostra de forma clara a identidade.

Passo 3

Substituindo a identidade no denominador da sequência, obtemos:
u_{n}=\frac{1}{\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}}=\frac{1}{2^{n}}.
Portanto a sequência é simplesmente a sequência geométrica u_{n}=2^{-n}.

Passo 4

Agora vamos estudar propriedades básicas da sequência \displaystyle u_{n}=\frac{1}{2^{n}}:
  • Positividade: para todo n, u_{n}>0 porque 2^{n}>0.
  • Relação de recorrência e monotonicidade: note que
u_{n+1}=\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2}u_{n}.
Como \tfrac{1}{2}<1 e u_{n}>0, temos u_{n+1}<u_{n} para todo n. Assim a sequência é estritamente decrescente.
  • Limitada inferiormente: u_{n}>0 para todo n, então é limitada inferiormente por 0. Também é limitada superiormente por u_{0}=1.

Passo 5

Para encontrar o limite, usemos a relação u_{n+1}=\tfrac{1}{2}u_{n}. Se a sequência tem limite L, ao passar ao limite dos dois lados obtemos
L=\frac{1}{2}L.
Isso implica L-\tfrac{1}{2}L=\tfrac{1}{2}L=0, logo L=0. Esse é um argumento clássico e elementar: uma sequência positiva e decrescente que satisfaz essa relação tem limite 0. Alternativamente, lembrando do comportamento das potências, como |\tfrac{1}{2}|<1 temos (\tfrac{1}{2})^{n}\to0 quando n\to\infty.

Passo 6

Resumo prático para a prova (dica amiga): ao ver a soma \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} pense imediatamente em (1+1)^{n}=2^{n}. A partir daí a sequência vira uma potência de 2 no denominador e fica claro que tende a 0.

Resposta

A sequência converge para 0.
Além disso, u_{n}>0 para todo n e u_{n+1}=\tfrac{1}{2}u_{n}, logo a sequência é estritamente decrescente e limitada (por 0 e 1).

Exercícios relacionados