Etudier a convergência da sequência:
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede que a gente estude a convergência dela. As informações relevantes que temos são:
- A sequência é definida para todo
por . - A pergunta é: a sequência converge? Se sim, para que valor ela converge? Também é útil verificar se é monotônica e se é limitada.
Passo 2
Vamos simplificar a soma que aparece no denominador. Existe uma identidade clássica envolvendo somas de coeficientes binomiais:
Vou explicar duas maneiras curtinhas de ver isso (escolha a que você achar mais intuitiva):
Método 1 — Teorema do binómio (expansão algébrica): o Teorema do Binômio diz que, para qualquer inteiro
,
Mas
. Portanto
.
Método 2 — Contagem combinatória (intuição): Num conjunto com
elementos, o número total de subconjuntos é a soma do número de subconjuntos de tamanho
para
. O número de subconjuntos de tamanho
é
, e o total de subconjuntos é
. Então a soma dos
dá
.
Qualquer um desses argumentos mostra de forma clara a identidade.
Passo 3
Substituindo a identidade no denominador da sequência, obtemos:
Portanto a sequência é simplesmente a sequência geométrica
.
Passo 4
Agora vamos estudar propriedades básicas da sequência
:
- Positividade: para todo
, porque . - Relação de recorrência e monotonicidade: note que
Como
e
, temos
para todo
. Assim a sequência é estritamente decrescente.
- Limitada inferiormente:
para todo , então é limitada inferiormente por . Também é limitada superiormente por .
Passo 5
Para encontrar o limite, usemos a relação
. Se a sequência tem limite
, ao passar ao limite dos dois lados obtemos
Isso implica
, logo
. Esse é um argumento clássico e elementar: uma sequência positiva e decrescente que satisfaz essa relação tem limite
. Alternativamente, lembrando do comportamento das potências, como
temos
quando
.
Passo 6
Resumo prático para a prova (dica amiga): ao ver a soma
pense imediatamente em
. A partir daí a sequência vira uma potência de
no denominador e fica claro que tende a
.
Resposta
A sequência converge para
.
Além disso, para todo
e
, logo a sequência é estritamente decrescente e limitada (por
e
).
Além disso,