Demonstre que o limite não existe
lim (x, y) (0,0) x^2+yx-2 y

Passo 1

O enunciado pede para analisar
f(x,y)=x^2+yx-2y
quando (x,y)to(0,0). Em limites de funções de duas variáveis precisamos verificar se o valor de lim(x,y)to(0,0)f(x,y) é único, isto é, independente do caminho de aproximação. Se encontrarmos duas trajetórias que dão resultados diferentes, concluímos que o limite não existe.

Passo 2

Escolhemos a trajetória reta
y = kx,
onde k é constante. Substituindo em f:
fl(x,kxr) =x^2+kxx-2,(kx) =x(x+k)x(1-2k) =x+k1-2k
Ao fazermos xto0, o valor tende a
limxto0fl(x,kxr) =k1-2k

Passo 3

Note que esse resultado depende de k. Por exemplo:
se k=0, k1-2k=0, se k=1, k1-2k=-1
Como obtemos 0 por um caminho e -1 por outro, o limite varia conforme a trajetória.

Resposta

O limite não existe.

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