Verifique se as funções abaixo são contínuas em (x=0) e justifique.
(f(x)= {cases}x{2}operatorname{sen}(e{frac{1}{x}}) , x<0 x^{4}+3 x^{2}-4 x+1 , x geq 0)

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= x^2sinl(e^1/xr),&x<0, x^4+3x^2-4x+1,&x>=0,
e pede para verificar a continuidade em x=0. Para isso precisamos calcular
  1. o limite lateral pela esquerda limxto0^-f(x),
  2. o limite lateral pela direita limxto0^+f(x),
  3. o valor f(0),
    e comparar se todos coincidem.

Passo 2

Para x<0 temos f(x)=x^2sin(e^1/x). Como sin é limitada por -1<= sin(cdot)<=1, vale
-,x^2<= x^2sinl(e^1/xr)<= x^2
Como limxto0^-(-x^2)=0 e limxto0^-x^2=0, pelo Teorema do Confronto
limxto0^-f(x)=0

Passo 3

Para x>=0 temos f(x)=x^4+3x^2-4x+1, que é um polinômio e, portanto, contínuo. Logo
limxto0^+f(x)=0^4+3cdot0^2-4cdot0+1=1

Passo 4

O valor de f em 0 vem do ramo x>=0, ou seja,
f(0)=0^4+3cdot0^2-4cdot0+1=1
Para ser contínua em 0 precisaríamos
limxto0^-f(x)=limxto0^+f(x)=f(0),
mas obtivemos limxto0^-f(x)=0 e f(0)=1.

Resposta

A função f não é contínua em x=0, pois o limite pela esquerda vale 0 e o valor da função em 0 é 1.

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