Qual o maior valor inteiro que k pode assumir para que a equação x^2+y^2-2 x+10 y+13 k=0 represente uma circunferência? Obs.: Responda apenas com valores numéricos, ex.: 3 ou 1,71 ou 1,8 ou 10 . Valores negativos, ex.: -3 ou -1,71 ou -1,8 ou -10 , etc.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^2+y^2-2x+10y+13k=0
e pede para que ela represente uma circunferência. O conteúdo aqui é classificação de uma cônica do tipo x^2+y^2+Dx+Ey+F=0: ela é uma circunferência se, ao completarmos os quadrados, o raio obtido for real e estritamente positivo.

Passo 2

Vamos completar quadrado em x e em y. Para x:
x^2-2x = (x-1)^2-1
Para y:
y^2+10y = (y+5)^2-25
Substituindo na equação original, temos
(x-1)^2-1 + (y+5)^2-25 +13k = 0

Passo 3

Reagrupando,
(x-1)^2 + (y+5)^2 = 1 +25 -13k = 26 -13k
Isso mostra que o raio ao quadrado é
r^2 = 26 - 13k
Para existir uma circunferência real não degenerada, precisamos de r^2>0. Logo,
26 - 13k > 0 Longrightarrow 13k < 26 Longrightarrow k < 2

Passo 4

Como k deve ser um número inteiro e satisfazer k<2, os valores possíveis são k<=1. Assim, o maior valor inteiro que k pode assumir é

Resposta

1

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