1. Demonstre que
ll a cdot c & b cdot c a cdot d & b cdot d

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
(a times b) cdot (c times d) ;=; acdotc & bcdotc acdotd & bcdotd
O conteúdo central aqui é a identidade de Lagrange para produtos mistos de vetores, que pode ser provada usando notação com índices, o símbolo de Levi–Civita epsilonijk e o delta de Kronecker de<aij.

Passo 2

Vamos escrever cada componente do produto vetorial em notação de índices:
(a times b)i = epsilonijk,aj,bk, (c times d)i = epsilonilm,cl,dm
Aqui somamos sobre índices repetidos ( j,k,l,m).

Passo 3

O produto escalar entre esses vetores fica
(atimesb)cdot(ctimesd) = (atimes b)i,(ctimes d)i = epsilonijk,epsilonilm,aj,bk,cl,dm
Agora usamos a identidade de contração de Levi–Civita:
epsilonijk,epsilonilm = de<ajl,de<akm - de<ajm,de<akl

Passo 4

Aplicando essa identidade, temos dois termos:
de<ajl,de<akm,aj,bk,cl,dm ;-; de<ajm,de<akl,aj,bk,cl,dm
No primeiro termo
de<ajl,de<akm,aj,bk,cl,dm = al,bm,cl,dm = (acdotc),(bcdotd)
No segundo
de<ajm,de<akl,aj,bk,cl,dm = am,bk,ck,dm = (acdotd),(bcdotc)

Passo 5

Subtraindo os dois resultados, obtemos
(atimesb)cdot(ctimesd) = (acdotc),(bcdotd) - (acdotd),(bcdotc),
que é exatamente o determinante de ordem 2 indicado.

Resposta

(a times b) cdot(c times d) = a cdot c & b cdot c a cdot d & b cdot d

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