Calcule os seguintes determinantes:
|rrrr-2 & 3 & 1 & 7 0 & -1 & 2 & 0 3 & -4 & 5 & 1 1 & 0 & -2 & -1|

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do determinante da matriz
A = -2 & 3 & 1 & 7 0 & -1 & 2 & 0 3 & -4 & 5 & 1 1 & 0 & -2 & -1
O conteúdo principal é a expansão de Laplace (cofatores). Como a segunda linha de A tem duas entradas nulas, vamos expandir ao longo dela.

Passo 2

Pela expansão de Laplace ao longo da segunda linha,
det(A) =sumj=1^4(-1)^2+ja2jdet(M2j) =(-1)^2+2(-1)det(M2,2)+(-1)^2+3(2)det(M2,3),
pois a2,1=0 e a2,4=0. Simplificando sinais,
det(A)=-det(M2,2)-2,det(M2,3)

Passo 3

O menor M2,2 é a submatriz obtida eliminando linha 2 e coluna 2:
M2,2 = -2 & 1 & 7 3 & 5 & 1 1 & -2 & -1
Calculamos seu determinante por regra de Sarrus ou expansão:
det(M2,2) =-2det!5&1-2&-1 -1det!3&11&-1 +7det!3&51&-2
Cada 2times 2 vale
det5&1-2&-1=-3, det3&11&-1=-4, det3&51&-2=-11
Logo
det(M2,2) =-2cdot(-3)-1cdot(-4)+7cdot(-11) =6+4-77=-67

Passo 4

O menor M2,3 elimina linha 2 e coluna 3:
M2,3 = -2 & 3 & 7 3 & -4 & 1 1 & 0 & -1
Seu determinante é
det(M2,3) =-2det!-4&10&-1 -3det!3&11&-1 +7det!3&-41&0
Calculando cada bloco 2times 2:
det-4&10&-1=4, det3&11&-1=-4, det3&-41&0=4
Então
det(M2,3) =-2cdot4-3cdot(-4)+7cdot4 =-8+12+28=32

Passo 5

Substituindo em det(A)=-det(M2,2)-2det(M2,3), obtemos
det(A)=-(-67)-2cdot32 =67-64=3

Resposta

3

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