Determine para quais valores de
a série
converge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir para quais valores de $ x $ a série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} $ converge. Isso envolve entender conceitos de convergência de séries, especialmente séries de potências. Vamos precisar usar o Teste da Razão e também analisar de perto o comportamento da série nos pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para determinar o raio de convergência da série. O Teste da Razão ajuda a descobrir para quais valores de $ x $ a série vai convergir absolutamente.
Calculamos o limite:
Passo 3
De acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente se $ L < 1 $, ou seja, se $ |x| < 1 $. Isso significa que para todos os valores de $ x $ entre -1 e 1, a série vai convergir.
Passo 4
Agora, precisamos verificar o que acontece nos extremos do intervalo, ou seja, quando $ x = 1 $ e $ x = -1 $.
- Para $ x = 1 $:
A série se torna:
Essa é a famosa série harmônica, que sabemos que diverge. Portanto, para $ x = 1 $, a série não converge.
- Para $ x = -1 $:
A série se torna:
Essa é a série alternada, conhecida como série harmônica alternada, que converge pelo Teste da Série Alternada. Mesmo que ela não convirge absolutamente, ela converge condicionalmente.
Passo 5
Resumindo tudo:
- Para $ |x| < 1 $: A série converge absolutamente.
- Para $ x = -1 $: A série converge condicionalmente.
- Para $ x = 1 $: A série diverge.
Resposta
A série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n} $ converge para todos os valores de $ x $ tais que $ -1 \leq x < 1 $.