Demonstre que:
\mu=\frac{1}{c_{P}}\left[T\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P}-v\right]=\frac{v}{c_{P}}(\beta T-1)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\mu = \frac{1}{c_{P}}\Bigl[T\Bigl(\frac{\partial v}{\partial T}\Bigr)_{P}-v\Bigr] \;\text{é igual a}\; \frac{v}{c_{P}}(\beta\,T-1).é
O conteúdo envolve termodinâmica, o coeficiente de expansão volumétrica \beta e a expressão de \mu em função de c_{P}, v e \bigl(\partial v/\partial T\bigr)_{P}.

Passo 2

Definimos o coeficiente de expansão volumétrica \beta pela relação
\beta = \frac{1}{v}\Bigl(\frac{\partial v}{\partial T}\Bigr)_{P}.
Dessa definição segue imediatamente que
\Bigl(\frac{\partial v}{\partial T}\Bigr)_{P} = v\,\beta.

Passo 3

Substituindo \bigl(\partial v/\partial T\bigr)_{P} = v\,\beta na expressão original de \mu, temos
\mu = \frac{1}{c_{P}}\bigl[T\,(v\,\beta) - v\bigr] = \frac{1}{c_{P}}\bigl[v\,(T\,\beta - 1)\bigr].

Passo 4

Basta então fatorar v sobre c_{P} para chegar à forma desejada:
\mu = \frac{v}{c_{P}}(\beta\,T - 1).

Resposta

\mu = \frac{v}{c_{P}}(\beta\,T - 1)

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