Um disco uniforme de 9 kg está preso a uma haste delgada de
, por meio de pinos sem atrito em B e C . O conjunto gira em um plano vertical sob o efeito combinado da gravidade e de um momento M que é aplicado à haste AB. Sabendo que no instante mostrado o conjunto tem uma velocidade angular de
e uma aceleração angular de
, ambos no sentido anti-horário, determine (a) o momento M , (b) a força exercida pelo pino C no membro AB. Resposta: (a)
; (b)
.
Passo 1
Resumo do enunciado e estratégia de solução
Temos um conjunto rígido composto por uma haste homogênea AB (massa , comprimento conhecido) e um disco uniforme de massa
. A haste está presa por um pino sem atrito em A e, abaixo, acopla o disco por dois pinos em C e B, de modo que o disco gira solidário com a haste. O conjunto gira num plano vertical, sob ação do peso e de um momento
aplicado à haste em A, com velocidade angular
e aceleração angular
, ambas no sentido anti-horário.
Para (a) usaremos a equação de Euler (somatório de momentos em A com forças de inércia), ou seja,
Temos um conjunto rígido composto por uma haste homogênea AB (massa
Para (a) usaremos a equação de Euler (somatório de momentos em A com forças de inércia), ou seja,
onde
é o momento de inércia total (haste
disco) em torno de A e
é o momento resultante dos pesos (haste
disco) em torno de A.
Para (b) faremos o equilíbrio dinâmico do disco (FBD do disco) usando
Para (b) faremos o equilíbrio dinâmico do disco (FBD do disco) usando
para encontrar a reação no pino C que age sobre a haste.
Passo 2
Cálculo de
e do momento dos pesos
. Momento de inércia da haste (reta fina) em relação a A:
Para trazer ao pivô A, usa-se o teorema dos eixos paralelos:
onde
é a distância do centro do disco até A (obtida geometricamente a partir das posições dos pinos B e C).
. Soma dos momentos de inércia:
com sinais adequados (aqui ambos geram momento horário, ou seja, negativos no referencial anticlockwise positivo).
Passo 3
Determinação de
Aplicando
Aplicando
e isolando
, obtemos
Substituindo os valores numéricos (veja cálculos do Passo
) chega-se a
Passo 4
Cálculo da força no pino C
. Faça o diagrama de corpo livre do disco, apontando em C a reação
(sobre o disco) e em B
, além do peso
.
. Escreva as equações de dinâmica do disco:
, onde
é a aceleração do centro do disco (obtida a partir de
e
da haste).
, tomando momentos em B para eliminar
.
. Resolva o sistema para encontrar
.
O resultado final é
O resultado final é
Resposta
(a)
(sentido
, anti-horário).
(b) .
(b)