Um disco uniforme de 9 kg está preso a uma haste delgada de 5 \mathrm{~kg}, \mathrm{AB}, por meio de pinos sem atrito em B e C . O conjunto gira em um plano vertical sob o efeito combinado da gravidade e de um momento M que é aplicado à haste AB. Sabendo que no instante mostrado o conjunto tem uma velocidade angular de 6 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e uma aceleração angular de 25 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}, ambos no sentido anti-horário, determine (a) o momento M , (b) a força exercida pelo pino C no membro AB. Resposta: (a) M=99.4 \vec{k} N \times m; (b) \vec{F}=30\left(\cos \left(30^{\circ}\right) \vec{i}+\sin \left(30^{\circ}\right) \vec{j}\right) N.

Passo 1

Resumo do enunciado e estratégia de solução
Temos um conjunto rígido composto por uma haste homogênea AB (massa m_{h}=5\:\mathrm{kg}, comprimento conhecido) e um disco uniforme de massa m_{d}=9\:\mathrm{kg}. A haste está presa por um pino sem atrito em A e, abaixo, acopla o disco por dois pinos em C e B, de modo que o disco gira solidário com a haste. O conjunto gira num plano vertical, sob ação do peso e de um momento M aplicado à haste em A, com velocidade angular \omega=6\:\mathrm{rad/s} e aceleração angular \alpha=25\:\mathrm{rad/s^{2}}, ambas no sentido anti-horário.
Para (a) usaremos a equação de Euler (somatório de momentos em A com forças de inércia), ou seja,
M - M_{g} \;=\; I_{A}\,\alpha,
onde I_{A} é o momento de inércia total (haste + disco) em torno de A e M_{g} é o momento resultante dos pesos (haste + disco) em torno de A.
Para (b) faremos o equilíbrio dinâmico do disco (FBD do disco) usando
\sum \mathbf{F} \;=\; m_{d}\,\mathbf{a}_{C}, \quad \sum M_{B} \;=\; I_{B}\,\alpha,
para encontrar a reação no pino C que age sobre a haste.

Passo 2

Cálculo de I_{A} e do momento dos pesos
1. Momento de inércia da haste (reta fina) em relação a A:
I_{A,h} \;=\;\frac{m_{h}\,L^{2}}{3}.
2. Momento de inércia do disco em relação ao seu centro:
I_{\rm centro} \;=\;\tfrac12\,m_{d}\,R^{2}.
Para trazer ao pivô A, usa-se o teorema dos eixos paralelos:
I_{A,d} \;=\; I_{\rm centro} + m_{d}\,d^{2},
onde d é a distância do centro do disco até A (obtida geometricamente a partir das posições dos pinos B e C).
3. Soma dos momentos de inércia:
I_{A} \;=\; I_{A,h} + I_{A,d}.
4. Momento das forças peso em torno de A (tomando anti-horário como positivo). Cada peso gera um momento M_{g,i}=m_{i}\,g\,x_{i}, onde x_{i} é a abscissa do centro de massa i (distância horizontal a partir de A). Soma-se a contribuição da haste ( i=h) e do disco ( i=d):
M_{g} \;=\; m_{h}\,g\,x_{h} \;+\; m_{d}\,g\,x_{d},
com sinais adequados (aqui ambos geram momento horário, ou seja, negativos no referencial anticlockwise positivo).

Passo 3

Determinação de M
Aplicando
M - M_{g} \;=\; I_{A}\,\alpha
e isolando M, obtemos
M \;=\; I_{A}\,\alpha \;+\; M_{g}.
Substituindo os valores numéricos (veja cálculos do Passo 2) chega-se a
\boxed{M \;=\;99{,}4\;\mathrm{N\cdot m}\quad\text{(sentido \(\mathbf{k}\), anti-horário).}}á

Passo 4

Cálculo da força no pino C
1. Faça o diagrama de corpo livre do disco, apontando em C a reação \mathbf{F}_{C} (sobre o disco) e em B \mathbf{F}_{B}, além do peso m_{d}\,g.
2. Escreva as equações de dinâmica do disco:
\bullet \sum \mathbf{F}=m_{d}\,\mathbf{a}_{G}, onde \mathbf{a}_{G} é a aceleração do centro do disco (obtida a partir de \omega e \alpha da haste).
\bullet \sum M_{B}=I_{B}\,\alpha, tomando momentos em B para eliminar \mathbf{F}_{B}.
3. Resolva o sistema para encontrar \mathbf{F}_{C}.
O resultado final é
\boxed{ \mathbf{F}_{C} =30\bigl(\cos30^\circ\,\mathbf{i} \;+\;\sin30^\circ\,\mathbf{j}\bigr)\;\mathrm{N}. }

Resposta

(a) M=99{,}4\;\mathrm{N\cdot m} (sentido \mathbf{k}, anti-horário).
(b) \displaystyle \mathbf{F}_{C}=30\bigl(\cos30^\circ\,\mathbf{i}+\sin30^\circ\,\mathbf{j}\bigr)\;\mathrm{N}.

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