Um cilindro circular sólido de peso W e raio r é puxado ao longo de um plano horizontal por uma força horizontal P aplicada na extremidade de uma corda enrolada ao redor do cilindro, como mostrado. (a) Supondo que não haja deslizamento, encontre a aceleração a_{c} do centro C. (b) Qual coeficiente de atrito \mu é necessário entre o cilindro e o plano para evitar deslizamento nessas condições? Resposta: (a) a_{c}=\frac{4 P g}{3 W}; (b) \mu \geq \frac{P}{3 W}.

Passo 1

O problema descreve um cilindro sólido de peso W e raio r apoiado num plano horizontal. Uma corda enrolada no cilindro exerce uma força horizontal P na extremidade superior do cilindro, conforme a figura. Supondo que não haja deslizamento, precisamos encontrar:
  1. A aceleração a_{c} do centro C.
  2. O valor mínimo do coeficiente de atrito \mu para que não ocorra deslizamento.
    Conteúdo usado: dinâmica de corpos rígidos (Leis de Newton para translação e rotação) e condição de rolamento sem deslizamento.

Passo 2

Desenhamos o diagrama de forças no cilindro:
  • Força P para a direita aplicada no ponto superior.
  • Força de atrito estático F_f no ponto de contato com o solo (saberemos a direção).
  • Peso W e reação normal N, ambas verticais (não contribuem para translação horizontal nem para torque em torno de C).
    Para a tradução do centro, aplicamos
\sum F_x = m\,a_{c}.
Como m = W/g, teremos
P + F_f = m\,a_{c}.

Passo 3

Para a rotação em torno do centro C, escolhemos sinal positivo no sentido em que a força P tende a girar o cilindro (sentido horário). O momento de P em relação a C é P\,r (positivo) e o de F_f é -F_f\,r. Então
\sum M_C = I\,\alpha \quad\Longrightarrow\quad P\,r \;-\; F_f\,r \;=\; I\,\alpha.
Como é um cilindro sólido,
I = \tfrac12\,m\,r^2.

Passo 4

A condição de rolamento sem deslizamento relaciona aceleração linear e angular:
a_{c} = \alpha\,r.

Passo 5

Substituímos \alpha = a_{c}/r\) em \(\sum M_C\): \[P\,r - F_f\,r = \tfrac12\,m\,r^2\;\frac{a_{c}}{r} \quad\Longrightarrow\quad P - F_f = \tfrac12\,m\,a_{c}.
Temos então o sistema
\begin{cases} m\,a_{c} = P + F_f,\\\ \tfrac12\,m\,a_{c} = P - F_f. \end{cases}
Somando as duas equações:
m\,a_{c} + \tfrac12\,m\,a_{c} = (P + F_f) + (P - F_f) \quad\Longrightarrow\quad \tfrac32\,m\,a_{c} = 2P \quad\Longrightarrow\quad a_{c} = \frac{4P}{3m}.
Como (m = W/g], resulta
\boxed{a_{c} = \frac{4P\,g}{3W}}.

Passo 6

Para encontrar F_f, basta usar uma das equações, por exemplo
\tfrac12\,m\,a_{c} = P - F_f \quad\Longrightarrow\quad F_f = P - \tfrac12\,m\,a_{c} = P - \tfrac12\,m\;\frac{4P}{3m} = P - \tfrac{2P}{3} = \frac{P}{3}.

Passo 7

A condição de não deslizamento impõe
F_f \le \mu\,N \quad\Longrightarrow\quad \frac{P}{3} \le \mu\,W \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\mu \ge \frac{P}{3W}}.

Resposta

a_{c} = \dfrac{4P\,g}{3W}
\mu \ge \dfrac{P}{3W}

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