Demonstre que não há solução aceitável para a equação de Schrödinger (independente do tempo) para o poço quadrado infinito com E=0 ou E<0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que não tem solução aceitável para a equação de Schrödinger independente do tempo quando a energia $ E $ é igual a zero ou menor que zero, dentro de um poço quadrado infinito. Isso está ligado à área da mecânica quântica, especificamente ao estudo de partículas confinadas em potenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a equação de Schrödinger se comporta nesse contexto e quais são os requisitos para uma solução ser considerada aceitável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no poço quadrado infinito, o potencial $ V(x) $ é zero dentro do poço (digamos, entre $ x = 0 $ e $ x = L $) e infinito fora desse intervalo. A equação de Schrödinger independente do tempo é dada por:
V(x)
Dentro do poço, $ V(x) = 0 $, então a equação simplifica para:
x = 0

Passo 3

Agora, vamos analisar os casos onde $ E = 0 $ e $ E < 0 $:
  1. Para $ E = 0 $:
    A equação fica $ \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = 0 $. Integrando duas vezes, temos $ \psi(x) = Ax + B $, onde $ A $ e $ B $ são constantes. Aplicando as condições de contorno $ \psi(0) = 0 $ e $ \psi(L) = 0 $, descobrimos que $ B = 0 $ e $ A L = 0 $, o que leva apenas à solução trivial $ \psi(x) = 0 $.
  2. Para $ E < 0 $:
    Vamos chamar $ E = -|E| $. A equação fica $ \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = \frac{2m|E|}{\hbar^2} \psi(x) $. As soluções gerais são combinações de exponenciais:
    E = 0
    Para que a função seja normalizável (ou seja, a partícula esteja confinada), a função deve permanecer finita dentro do poço. Mas como $ V(x) $ é infinito fora, a função deve ser zero nas bordas. Aplicando $ \psi(0) = 0 $ e $ \psi(L) = 0 $, só obtenemos a solução trivial $ \psi(x) = 0 $.

Passo 4

Em ambos os casos, $ E = 0 $ e $ E < 0 $, a única solução que satisfaz as condições de contorno é a solução trivial $ \psi(x) = 0 $. No contexto da mecânica quântica, uma função de onda nula não é uma solução física válida, pois não representa uma partícula existente.

Resposta

Portanto, não existem soluções aceitáveis para a equação de Schrödinger com $ E = 0 $ ou $ E < 0 $ no poço quadrado infinito.

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