Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial:
em que
e
são constantes reais positivas.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Mecânica Quântica onde uma partícula livre tem a função de onda inicial dada por:
Aqui,
e
são constantes reais positivas. O que a gente precisa fazer é calcular
, que é basicamente a transformação de Fourier dessa função de onda. Vamos precisar saber sobre transformadas de Fourier e como aplicá-las nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformação de Fourier. Ela serve para passar da representação no espaço (em termos de posição
) para a representação no espaço dos momentos (em termos de
). A fórmula geral da transformação de Fourier para a função de onda é:
Então, nosso objetivo é calcular essa integral usando a função de onda dada.
Passo 3
Substituindo
na expressão da transformação de Fourier, temos:
Agora, vamos simplificar essa expressão. Como
é uma função par (simétrica em relação ao eixo
), e
pode ser escrita usando as funções cosseno e seno, podemos aproveitar essa simetria.
Passo 4
Vamos usar a identidade de Euler para o termo exponencial:
Substituindo na integral:
Mas, como
é par e
é ímpar, o termo com seno vai se anular na integração de
a
. Assim, sobra apenas:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Essa é uma integral conhecida que resulta em:
Portanto, substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
Então, a transformação de Fourier da função de onda inicial é: