Uma partícula livre tem a seguinte função de onda inicial:
Psi(x, 0)=A e^-a|x|
em que A e a são constantes reais positivas.
Calcule phi(k).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Mecânica Quântica onde uma partícula livre tem a função de onda inicial dada por:
Psi(x, 0) = A e^-a|x|
Aqui, A e a são constantes reais positivas. O que a gente precisa fazer é calcular phi(k), que é basicamente a transformação de Fourier dessa função de onda. Vamos precisar saber sobre transformadas de Fourier e como aplicá-las nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformação de Fourier. Ela serve para passar da representação no espaço (em termos de posição x) para a representação no espaço dos momentos (em termos de k). A fórmula geral da transformação de Fourier para a função de onda é:
phi(k) = 1raiz2pi integral-infty^infty Psi(x, 0) e^-ikx dx
Então, nosso objetivo é calcular essa integral usando a função de onda dada.

Passo 3

Substituindo Psi(x, 0) na expressão da transformação de Fourier, temos:
phi(k) = Araiz2pi integral-infty^infty e^-a|x| e^-ikx dx
Agora, vamos simplificar essa expressão. Como e^-a|x| é uma função par (simétrica em relação ao eixo y), e e^-ikx pode ser escrita usando as funções cosseno e seno, podemos aproveitar essa simetria.

Passo 4

Vamos usar a identidade de Euler para o termo exponencial:
e^-ikx = cos(kx) - isin(kx)
Substituindo na integral:
phi(k) = Araiz2pi integral-infty^infty e^-a|x| [cos(kx) - isin(kx)] dx
Mas, como e^-a|x| é par e sin(kx) é ímpar, o termo com seno vai se anular na integração de -infty a infty. Assim, sobra apenas:
phi(k) = Araiz2pi integral-infty^infty e^-a|x| cos(kx) dx

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
integral-infty^infty e^-a|x| cos(kx) dx
Essa é uma integral conhecida que resulta em:
2aa^2 + k^2
Portanto, substituindo de volta na expressão de phi(k):
phi(k) = Araiz2pi cdot 2aa^2 + k^2

Resposta

Então, a transformação de Fourier da função de onda inicial é:
phi(k) = 2A araiz2pi (a^2 + k^2)

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