Uma partícula no poço quadrado infinito tem como função de onda inicial uma mistura equilibrada dos dois primeiros estados estacionários:
Se você medisse a energia dessa partícula, que valores obteria e qual a probabilidade de obter cada um deles? Calcule o valor esperado de
. Qual a diferença entre esse valor e os valores de
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão trata de uma partícula confinada em um poço quadrado infinito, que é um modelo básico em mecânica quântica. A função de onda inicial da partícula é uma combinação equilibrada dos dois primeiros estados estacionários, ou seja, os estados de energia mais baixos possíveis nesse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como estados estacionários, operadores de energia (H), valores esperados e probabilidades de medir certos valores de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os possíveis valores de energia que podemos obter ao medir a energia dessa partícula. Como a função de onda é uma combinação dos dois primeiros estados estacionários, os únicos valores de energia possíveis são os correspondentes a esses estados, ou seja, $ E_1 $ e $ E_2 $.
Passo 3
Agora, vamos determinar a constante de normalização $ A $. Sabemos que a função de onda deve ser normalizada, ou seja:
Substituindo $ \Psi(x, 0) = A (\psi_{1}(x) + \psi_{2}(x)) $:
Expandindo o quadrado:
Sabemos que os estados estacionários são ortonormais, então $ \int \psi_{i}^2 dx = 1 $ e $ \int \psi_{1}\psi_{2} dx = 0 $. Então:
Passo 4
Agora que temos $ A = \frac{1}{\sqrt{2}} $, a função de onda fica:
Isso nos mostra que a partícula está em uma superposição dos estados $ \psi_{1} $ e $ \psi_{2} $ com amplitudes iguais.
Passo 5
Para encontrar as probabilidades de medir cada energia, observamos que as probabilidades são os quadrados dos coeficientes das amplitudes de cada estado na superposição. No nosso caso, cada estado tem coeficiente $ \frac{1}{\sqrt{2}} $.
Então, a probabilidade de medir $ E_1 $ é:
E a probabilidade de medir $ E_2 $ é:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor esperado da energia, que é dado por:
Substituindo as probabilidades e os valores de energia:
Passo 7
Por fim, queremos saber a diferença entre o valor esperado $ \langle H \rangle $ e os valores individuais $ E_1 $ e $ E_2 $.
A diferença entre $ \langle H \rangle $ e $ E_1 $ é:
E a diferença entre $ \langle H \rangle $ e $ E_2 $ é:
Resposta
Ao medir a energia da partícula, podemos obter os valores $ E_1 $ e $ E_2 $, cada um com probabilidade de $ \frac{1}{2} $. O valor esperado da energia $ \langle H \rangle $ é $ \frac{E_1 + E_2}{2} $. A diferença entre $ \langle H \rangle $ e $ E_1 $ é $ \frac{E_2 - E_1}{2} $, e a diferença entre $ \langle H \rangle $ e $ E_2 $ é $ \frac{E_1 - E_2}{2} $.