Uma partícula em um poço quadrado infinito tem a função de onda inicial
Psi(x, 0)= A x, & 0 <= x <= a / 2 A(a-x), & a / 2 <= x <= a
Calcule psi(x, t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma partícula em um poço quadrado infinito. A gente tem a função de onda inicial Psi(x, 0) definida por duas partes, dependendo de x. Para achar psi(x, t), que é a função de onda no tempo t, vamos precisar usar conceitos de Mecânica Quântica, como a expansão em funções próprias e a evolução temporal das funções de onda. Vamos por etapas!

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função de onda inicial Psi(x, 0) esteja normalizada. Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula no poço é 1. A normalização é importante para que os cálculos futuros façam sentido físico.
A função de onda é dada por:
Psi(x, 0) = A x, & 0 <= x <= a2 A(a - x), & a2 <= x <= a
Para normalizar, devemos calcular:
integral0^a |Psi(x, 0)|^2 dx = 1
Vamos calcular essa integral dividindo em duas partes:
integral0^a2 (A x)^2 dx + integrala2^a [A(a - x)]^2 dx = 1

Passo 3

Vamos resolver as integrais:
Primeira integral:
A^2 integral0^a2 x^2 dx = A^2 [ x^33 ]0^a2 = A^2 ( (a2)^33 ) = A^2 ( a^324 )
Segunda integral:
A^2 integrala2^a (a - x)^2 dx = A^2 [ (a - x)^33 ]a2^a = A^2 ( 0 - (a2)^33 ) = A^2 ( -a^324 )
Somando as duas partes:
A^2 ( a^324 + a^324 ) = A^2 ( a^312 ) = 1

Passo 4

Resolvendo para A:
A^2 a^312 = 1 implies A^2 = 12a^3 implies A = raiz12a^3 = 2raiz3a^3/2
Agora temos a constante de normalização A.

Passo 5

Agora, vamos expandir Psi(x, 0) em termos das funções próprias do poço infinito, que são as funções senoidais:
phin(x) = raiz2a sin( npi xa )
A função de onda no tempo é dada por:
psi(x, t) = sumn=1^infty Cn phin(x) e^-i En t / hbar
Onde En = n^2 pi^2 hbar^22ma^2 são as energias dos estados.

Passo 6

Precisamos encontrar os coeficientes Cn. Para isso, usamos a ortonormalidade das funções phin(x):
Cn = integral0^a phin(x) Psi(x, 0) dx
Substituindo Psi(x, 0):
Cn = raiz2a integral0^a sin( npi xa ) Psi(x, 0) dx
Dividimos a integral em duas partes:
Cn = raiz2a [ integral0^a2 sin( npi xa ) A x dx + integrala2^a sin( npi xa ) A(a - x) dx ]
Substituindo A = 2raiz3a^3/2 e resolvendo as integrais, obtemos os coeficientes Cn.

Resposta

A função de onda no tempo t é dada por:
psi(x, t) = sumn=1^infty ( 2raiz3a^3/2 [ integral0^a2 sin( npi xa ) x dx + integrala2^a sin( npi xa ) (a - x) dx ] ) raiz2a sin( npi xa ) e^-i n^2 pi^2 hbar2ma^2 t
Ou simplificando:
psi(x, t) = sumn=1^infty Cn sin( npi xa ) e^-i En t / hbar
Onde os coeficientes Cn são calculados através das integrais apresentadas no Passo 6.

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