Uma partícula em um poço quadrado infinito tem a função de onda inicial
Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre uma partícula em um poço quadrado infinito. A gente tem a função de onda inicial
definida por duas partes, dependendo de
. Para achar
, que é a função de onda no tempo
, vamos precisar usar conceitos de Mecânica Quântica, como a expansão em funções próprias e a evolução temporal das funções de onda. Vamos por etapas!
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função de onda inicial
esteja normalizada. Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula no poço é 1. A normalização é importante para que os cálculos futuros façam sentido físico.
A função de onda é dada por:
Para normalizar, devemos calcular:
Vamos calcular essa integral dividindo em duas partes:
Passo 3
Vamos resolver as integrais:
Primeira integral:
Segunda integral:
Somando as duas partes:
Passo 4
Resolvendo para
:
Agora temos a constante de normalização
.
Passo 5
Agora, vamos expandir
em termos das funções próprias do poço infinito, que são as funções senoidais:
A função de onda no tempo é dada por:
Onde
são as energias dos estados.
Passo 6
Precisamos encontrar os coeficientes
. Para isso, usamos a ortonormalidade das funções
:
Substituindo
:
Dividimos a integral em duas partes:
Substituindo
e resolvendo as integrais, obtemos os coeficientes
.
Resposta
A função de onda no tempo
é dada por:
Ou simplificando:
Onde os coeficientes
são calculados através das integrais apresentadas no Passo 6.