Demonstre que não há solução aceitável para a equação de Schrödinger (independente do tempo) para o poço quadrado infinito com E=0 ou E<0. (Esse é um caso especial do teorema geral no Problema 2.2, mas dessa vez faça a demonstração resolvendo explicitamente a equação de Schrödinger, mostrando que você não pode atender às condições de contorno.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que não tem solução válida para a equação de Schrödinger no poço quadrado infinito quando a energia $ E = 0 $ ou $ E < 0 $. Vamos usar os conceitos de equação de Schrödinger independente do tempo e as condições de contorno do poço para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula numa dimensão dentro do poço infinito. Ela é dada por:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 + V(x) psi(x) = E psi(x)
No poço quadrado infinito, o potencial $ V(x) $ é zero dentro do poço ($ 0 < x < a $) e infinito fora. Isso significa que a função de onda $ \psi(x) $ deve ser zero nas bordas $ x = 0 $ e $ x = a $.

Passo 3

Vamos considerar o caso onde $ E = 0 $. A equação de Schrödinger simplifica para:
E = 0
Isso pode ser reescrito como:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = 0

Passo 4

A solução geral dessa equação diferencial é uma função linear:
psi(x) = Cx + D
Onde $ C $ e $ D $ são constantes.

Passo 5

Aplicando as condições de contorno, temos:
Para $ x = 0 $:
x = 0
Então, a função fica:
psi(0) = C cdot 0 + D = D = 0 implies D = 0
Agora, para $ x = a $:
psi(x) = Cx
Isso significa que $ \psi(x) = 0 $ para todo $ x $, que é uma solução trivial e não aceitável fisicamente.

Passo 6

Agora, vamos considerar $ E < 0 $. Nesse caso, a equação de Schrödinger fica:
E < 0
Como $ E < 0 $, definimos $ \kappa = \sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2}} $, que é real. Então, a equação fica:
d^2 psi(x)dx^2 = -2mEhbar^2 psi(x)
A solução geral é:
E < 0

Passo 7

Aplicando as condições de contorno:
Para $ x = 0 $:
x = 0
Então, a função fica:
psi(0) = C + D = 0 implies C = -D
Agora, para $ x = a $:
psi(x) = C (e^kappa x - e^-kappa x) = C cdot 2 sinh(kappa x)
Como $ \sinh(\kappa a) $ nunca é zero para $ \kappa a > 0 $, a única solução possível é $ C = 0 $, o que novamente leva a $ \psi(x) = 0 $, uma solução trivial não aceitável.

Resposta

Não existe solução aceitável para a equação de Schrödinger no poço quadrado infinito quando $ E = 0 $ ou $ E < 0 $.

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