Demonstre que não há solução aceitável para a equação de Schrödinger (independente do tempo) para o poço quadrado infinito com
ou
. (Esse é um caso especial do teorema geral no Problema 2.2, mas dessa vez faça a demonstração resolvendo explicitamente a equação de Schrödinger, mostrando que você não pode atender às condições de contorno.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que não tem solução válida para a equação de Schrödinger no poço quadrado infinito quando a energia $ E = 0 $ ou $ E < 0 $. Vamos usar os conceitos de equação de Schrödinger independente do tempo e as condições de contorno do poço para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula numa dimensão dentro do poço infinito. Ela é dada por:
No poço quadrado infinito, o potencial $ V(x) $ é zero dentro do poço ($ 0 < x < a $) e infinito fora. Isso significa que a função de onda $ \psi(x) $ deve ser zero nas bordas $ x = 0 $ e $ x = a $.
Passo 3
Vamos considerar o caso onde $ E = 0 $. A equação de Schrödinger simplifica para:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 4
A solução geral dessa equação diferencial é uma função linear:
Onde $ C $ e $ D $ são constantes.
Passo 5
Aplicando as condições de contorno, temos:
Para $ x = 0 $:
Então, a função fica:
Agora, para $ x = a $:
Isso significa que $ \psi(x) = 0 $ para todo $ x $, que é uma solução trivial e não aceitável fisicamente.
Passo 6
Agora, vamos considerar $ E < 0 $. Nesse caso, a equação de Schrödinger fica:
Como $ E < 0 $, definimos $ \kappa = \sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2}} $, que é real. Então, a equação fica:
A solução geral é:
Passo 7
Aplicando as condições de contorno:
Para $ x = 0 $:
Então, a função fica:
Agora, para $ x = a $:
Como $ \sinh(\kappa a) $ nunca é zero para $ \kappa a > 0 $, a única solução possível é $ C = 0 $, o que novamente leva a $ \psi(x) = 0 $, uma solução trivial não aceitável.
Resposta
Não existe solução aceitável para a equação de Schrödinger no poço quadrado infinito quando $ E = 0 $ ou $ E < 0 $.