- Demonstre o que ocorre com a energia interna de um sistema que sofre compressão isotérmica.
Passo 1
O enunciado pede: demonstrar o que ocorre com a energia interna de um sistema quando ele sofre uma compressão isotérmica. Informações dadas e implicadas pelo enunciado:
- O processo é uma compressão: o volume do sistema diminui, isto é,
. - O processo é isotérmico: a temperatura fica constante durante todo o processo, isto é,
constante. - Não foi especificado o tipo de substância; portanto devemos explicar o caso típico (gás ideal) e também comentar o caso geral (substância real).
- Pergunta explícita: o que acontece com a energia interna do sistema durante essa compressão isotérmica?
Passo 2
Apresento a lei primeira da termodinâmica e a convenção de sinais (isso é essencial para concluir corretamente).
- A primeira lei da termodinâmica em forma diferencial é
onde
é a variação da energia interna,
é o calor recebido pelo sistema e
é o trabalho realizado pelo sistema sobre o meio externo.
- Para um processo que vai de um estado inicial
a um estado final , em forma integral,
onde
é o calor trocado pelo sistema (positivo se recebido pelo sistema) e
é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho sobre o entorno).
Passo 3
Interpretação do sinal do trabalho numa compressão e expressão do trabalho para um processo quasiestático reversível.
- Em uma compressão, o entorno faz trabalho sobre o sistema. Isso significa que o trabalho realizado pelo sistema
é negativo. - Para um processo reversível unidimensional com pressão
, o trabalho realizado pelo sistema é
- Se
, então o integrando é negativo em média, e portanto . Em termos práticos: trabalho é feito sobre o sistema (o sistema recebe trabalho).
Passo 4
Caso clássico: gás ideal. Principal propriedade útil: energia interna depende só da temperatura.
- Para um gás ideal, a energia interna
depende apenas da temperatura . Formalmente,
- Isso decorre do modelo molecular do gás ideal (partículas não interagem; a energia potencial de interação é nula), de modo que a energia interna é a soma das energias cinéticas das partículas, e energias cinéticas médias dependem apenas de
. - Consequência imediata: num processo isotérmico (
constante), a variação da energia interna do gás ideal é
Passo 5
Exemplo concreto: gás ideal monoatômico (para fixar ideias e números).
- Para um gás ideal monoatômico, temos a expressão conhecida
onde
é o número de mols e
a constante universal dos gases. Aqui cada símbolo significa:
energia interna total,
mols,
constante,
temperatura.
- Se o processo é isotérmico,
é constante, logo . - Portanto, independentemente de quanto o volume mude, para o gás ideal monoatômico a energia interna não varia.
Passo 6
Relação entre calor e trabalho no caso isotérmico (gás ideal) — mostrar para a prova como calcular
e
.
- Para um gás ideal em processo isotérmico reversível a pressão interna
ligada pela equação dos gases ideais . - O trabalho realizado pelo sistema (com a convenção usada) é
- Como vimos em Passo 4,
. Pela primeira lei , então
- Observação de sinais: para compressão
temos . Assim e : o sistema recebe trabalho (positivo do ponto de vista do entorno) e libera calor para o entorno na mesma quantidade (em módulo). Na linguagem prática: trabalho feito sobre o gás é convertido em calor que deve ser cedido ao reservatório térmico para manter constante.
Passo 7
Interpretação física e molecular, para fixar a intuição e lembrar na prova.
- Para um gás ideal, energia interna é energia cinética média das moléculas; essa energia está diretamente ligada à temperatura. Se
não muda, a energia cinética média não muda, logo a energia interna não muda. - Na compressão, as colisões aumentam momentaneamente as energias cinéticas, mas o sistema está em contato térmico com um reservatório que retira o excesso de energia (calor sai) de modo que a temperatura permaneça constante: o calor removido é exatamente o trabalho realizado sobre o gás.
Passo 8
Caso geral (substâncias reais): quando a energia interna pode mudar numa compressão isotérmica.
- Em geral, a energia interna pode depender de
e : . Diferenciando,
- Em um processo isotérmico
, então
- Portanto, para uma substância real,
numa compressão isotérmica é, em geral, diferente de zero se . Só no caso especial em que — que é a propriedade do gás ideal (Lei de Joule) — teremos . - Exemplos: um gás real com interações atrativas ou repulsivas entre partículas pode ter variação de energia interna ao comprimir isotermicamente, porque você altera energia potencial de interação entre partículas ao mudar
.
Passo 9
Resumo final e dica rápida para prova (como responder direto e com justificativa curta).
- Se o enunciado se refere ao gás ideal (caso mais comum em exercícios): a energia interna não muda durante uma compressão isotérmica; ou seja,
- Justificativa curta para a prova: para gás ideal
; isotérmico constante . Além disso, o calor trocado satisfaz . - Se o enunciado refere-se a uma substância real, precisa verificar se
. Se não for zero, normalmente será diferente de zero.
Resposta
Para gás ideal isotérmico:
.\nPara substância geral (real):
, que em geral não é nulo; só é zero se
(caso do gás ideal).