1. Demonstre o que ocorre com a energia interna de um sistema que sofre compressão isotérmica.

Passo 1

O enunciado pede: demonstrar o que ocorre com a energia interna de um sistema quando ele sofre uma compressão isotérmica. Informações dadas e implicadas pelo enunciado:
  • O processo é uma compressão: o volume do sistema diminui, isto é, V_f < V_i.
  • O processo é isotérmico: a temperatura fica constante durante todo o processo, isto é, T= constante.
  • Não foi especificado o tipo de substância; portanto devemos explicar o caso típico (gás ideal) e também comentar o caso geral (substância real).
  • Pergunta explícita: o que acontece com a energia interna do sistema durante essa compressão isotérmica?

Passo 2

Apresento a lei primeira da termodinâmica e a convenção de sinais (isso é essencial para concluir corretamente).
  • A primeira lei da termodinâmica em forma diferencial é
\mathrm{d}U = \delta Q - \delta W,
onde \mathrm{d}U é a variação da energia interna, \delta Q é o calor recebido pelo sistema e \delta W é o trabalho realizado pelo sistema sobre o meio externo.
  • Para um processo que vai de um estado inicial i a um estado final f, em forma integral,
\Delta U = Q - W,
onde Q é o calor trocado pelo sistema (positivo se recebido pelo sistema) e W é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho sobre o entorno).

Passo 3

Interpretação do sinal do trabalho numa compressão e expressão do trabalho para um processo quasiestático reversível.
  • Em uma compressão, o entorno faz trabalho sobre o sistema. Isso significa que o trabalho realizado pelo sistema W é negativo.
  • Para um processo reversível unidimensional com pressão P, o trabalho realizado pelo sistema é
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,\mathrm{d}V.
  • Se V_f<V_i, então o integrando \mathrm{d}V é negativo em média, e portanto W<0. Em termos práticos: trabalho é feito sobre o sistema (o sistema recebe trabalho).

Passo 4

Caso clássico: gás ideal. Principal propriedade útil: energia interna depende só da temperatura.
  • Para um gás ideal, a energia interna U depende apenas da temperatura T. Formalmente,
U = U(T).
  • Isso decorre do modelo molecular do gás ideal (partículas não interagem; a energia potencial de interação é nula), de modo que a energia interna é a soma das energias cinéticas das partículas, e energias cinéticas médias dependem apenas de T.
  • Consequência imediata: num processo isotérmico ( T constante), a variação da energia interna do gás ideal é
\Delta U = 0.

Passo 5

Exemplo concreto: gás ideal monoatômico (para fixar ideias e números).
  • Para um gás ideal monoatômico, temos a expressão conhecida
U=\tfrac{3}{2}nRT,
onde n é o número de mols e R a constante universal dos gases. Aqui cada símbolo significa: U energia interna total, n mols, R constante, T temperatura.
  • Se o processo é isotérmico, T é constante, logo \Delta U=\tfrac{3}{2}nR\Delta T=0.
  • Portanto, independentemente de quanto o volume mude, para o gás ideal monoatômico a energia interna não varia.

Passo 6

Relação entre calor e trabalho no caso isotérmico (gás ideal) — mostrar para a prova como calcular Q e W.
  • Para um gás ideal em processo isotérmico reversível a pressão interna P ligada pela equação dos gases ideais P=\dfrac{nRT}{V}.
  • O trabalho realizado pelo sistema (com a convenção usada) é
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,\mathrm{d}V = \int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Como vimos em Passo 4, \Delta U=0. Pela primeira lei \Delta U = Q - W, então
Q = W = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Observação de sinais: para compressão V_f<V_i temos \ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right)<0. Assim W<0 e Q<0: o sistema recebe trabalho (positivo do ponto de vista do entorno) e libera calor para o entorno na mesma quantidade (em módulo). Na linguagem prática: trabalho feito sobre o gás é convertido em calor que deve ser cedido ao reservatório térmico para manter T constante.

Passo 7

Interpretação física e molecular, para fixar a intuição e lembrar na prova.
  • Para um gás ideal, energia interna é energia cinética média das moléculas; essa energia está diretamente ligada à temperatura. Se T não muda, a energia cinética média não muda, logo a energia interna não muda.
  • Na compressão, as colisões aumentam momentaneamente as energias cinéticas, mas o sistema está em contato térmico com um reservatório que retira o excesso de energia (calor sai) de modo que a temperatura permaneça constante: o calor removido é exatamente o trabalho realizado sobre o gás.

Passo 8

Caso geral (substâncias reais): quando a energia interna pode mudar numa compressão isotérmica.
  • Em geral, a energia interna pode depender de T e V: U=U(T,V). Diferenciando,
\mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V \mathrm{d}T + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \mathrm{d}V.
  • Em um processo isotérmico \mathrm{d}T=0, então
\mathrm{d}U = \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \mathrm{d}V.
  • Portanto, para uma substância real, \Delta U numa compressão isotérmica é, em geral, diferente de zero se \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T \neq 0. Só no caso especial em que \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T=0 — que é a propriedade do gás ideal (Lei de Joule) — teremos \Delta U=0.
  • Exemplos: um gás real com interações atrativas ou repulsivas entre partículas pode ter variação de energia interna ao comprimir isotermicamente, porque você altera energia potencial de interação entre partículas ao mudar V.

Passo 9

Resumo final e dica rápida para prova (como responder direto e com justificativa curta).
  • Se o enunciado se refere ao gás ideal (caso mais comum em exercícios): a energia interna não muda durante uma compressão isotérmica; ou seja,
\Delta U = 0.
  • Justificativa curta para a prova: para gás ideal U=U(T); isotérmico \Rightarrow T constante \Rightarrow \Delta U=0. Além disso, o calor trocado satisfaz Q=W=nRT\ln\!\left(\dfrac{V_f}{V_i}\right).
  • Se o enunciado refere-se a uma substância real, precisa verificar se \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T=0. Se não for zero, \Delta U normalmente será diferente de zero.

Resposta

Para gás ideal isotérmico: \Delta U=0.\nPara substância geral (real): \Delta U=\displaystyle\int_{V_i}^{V_f}\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\mathrm{d}V, que em geral não é nulo; só é zero se \left(\dfrac{\partial U}{\partial V}\right)_T=0 (caso do gás ideal).

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