e pede a equação da reta tangente a essa curva no ponto \alpha\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big).
Informações relevantes fornecidas:
\alpha(t)=\big(\cos t,\\ \sin t,\\ t\big)
e o ponto de interesse é obtido em t=\tfrac{\pi}{3}.
Não há mais dados ocultos: a reta tangente é a reta que passa por \alpha\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big) e tem direção dada pela derivada \alpha'(t) avaliada em t=\tfrac{\pi}{3}.
Passo 2
Vamos primeiro obter as coordenadas do ponto \alpha\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big). Para isso usamos as identidades trigonométricas conhecidas:
Agora precisamos da direção da reta tangente: ela é dada pelo vetor derivada \alpha'(t). Vou lembrar rapidamente as derivadas que usaremos:
A derivada de \cos t é -\sin t.
A derivada de \sin t é \cos t.
A derivada de t em relação a t é 1.
Usando isso, calculamos a derivada componente a componente:
\alpha'(t)=\big(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 1\big).
Passo 4
Avaliamo-la em t=\tfrac{\pi}{3}. Usamos novamente \sin\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tfrac{1}{2}. Então
Interpretação: o vetor \alpha'\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big) é um vetor não nulo que aponta na direção da reta tangente à curva no ponto \alpha\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big). Para escrever a reta, escolhemos um parâmetro (não reutilizamos t, que já foi usado), vou chamar o parâmetro da reta de s.
A forma paramétrica da reta que passa por um ponto P=(x_0,y_0,z_0) com vetor diretor v=(v_x,v_y,v_z) é
Aplicando isso ao nosso ponto e vetor diretor, com P=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{\pi}{3}\right) e v=\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{1}{2},1\right), obtemos a equação paramétrica da reta tangente: