(2,5 pontos)
Determine a equação da reta tangente à curva parametrizada por
\alpha(t)=(\cos t, \backslash \operatorname{sen} t, t)
no ponto \alpha\left(\frac{\pi}{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\alpha(t)=\big(\cos t,\\ \sin t,\\ t\big)
e pede a equação da reta tangente a essa curva no ponto \alpha\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big).
Informações relevantes fornecidas:
\alpha(t)=\big(\cos t,\\ \sin t,\\ t\big)
e o ponto de interesse é obtido em t=\tfrac{\pi}{3}.
Não há mais dados ocultos: a reta tangente é a reta que passa por \alpha\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big) e tem direção dada pela derivada \alpha'(t) avaliada em t=\tfrac{\pi}{3}.

Passo 2

Vamos primeiro obter as coordenadas do ponto \alpha\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big). Para isso usamos as identidades trigonométricas conhecidas:
\cos\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tfrac{1}{2},\qquad \sin\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto,
\alpha\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\left(\tfrac{1}{2},\\ \tfrac{\sqrt{3}}{2},\\ \tfrac{\pi}{3}\right).

Passo 3

Agora precisamos da direção da reta tangente: ela é dada pelo vetor derivada \alpha'(t). Vou lembrar rapidamente as derivadas que usaremos:
  • A derivada de \cos t é -\sin t.
  • A derivada de \sin t é \cos t.
  • A derivada de t em relação a t é 1.
Usando isso, calculamos a derivada componente a componente:
\alpha'(t)=\big(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 1\big).

Passo 4

Avaliamo-la em t=\tfrac{\pi}{3}. Usamos novamente \sin\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\tfrac{1}{2}. Então
\alpha'\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\\ \tfrac{1}{2},\\\ 1\right).

Passo 5

Interpretação: o vetor \alpha'\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big) é um vetor não nulo que aponta na direção da reta tangente à curva no ponto \alpha\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big). Para escrever a reta, escolhemos um parâmetro (não reutilizamos t, que já foi usado), vou chamar o parâmetro da reta de s.
A forma paramétrica da reta que passa por um ponto P=(x_0,y_0,z_0) com vetor diretor v=(v_x,v_y,v_z) é
r(s)=P+s\,v,
ou componente a componente:
\begin{cases} x=x_0+s\,v_x,\\[4pt] y=y_0+s\,v_y,\\[4pt] z=z_0+s\,v_z. \end{cases}]

Passo 6

Aplicando isso ao nosso ponto e vetor diretor, com P=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{\pi}{3}\right) e v=\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2},\tfrac{1}{2},1\right), obtemos a equação paramétrica da reta tangente:
\begin{cases} x=\dfrac{1}{2}+s\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right),\\[8pt] y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+s\left(\dfrac{1}{2}\right),\\[8pt] z=\dfrac{\pi}{3}+s. \end{cases}]

Passo 7

Também podemos escrever a forma simétrica (quando os componentes do vetor diretor não são zero), isolando s em cada equação:
\frac{x-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{y-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{1}{2}}=\frac{z-\tfrac{\pi}{3}}{1}.
Essas duas formas (paramétrica e simétrica) representam a mesma reta tangente.

Resposta

x=\dfrac{1}{2}+s\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right),\; y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+s\left(\dfrac{1}{2}\right),\; z=\dfrac{\pi}{3}+s
\dfrac{x-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{y-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{1}{2}}=\dfrac{z-\tfrac{\pi}{3}}{1}

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