(2,5 pontos)
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
z=3 x^{2} y-x
no ponto (1,2,5).

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida por
z = 3 x^{2} y - x
e pede a equação do plano tangente a essa superfície no ponto (1,2,5).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
\begin{aligned} &\text{o função: } z=f(x,y)=3x^{2}y-x,\\\ &\text{o ponto onde queremos o plano tangente: }(x_{0},y_{0},z_{0})=(1,2,5). \end{aligned}çã

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): o plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) é a melhor aproximação linear da função perto desse ponto. A fórmula do plano tangente (linearização) é
z = f(x_{0},y_{0}) + f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}),
onde:
  • f_{x}(x_{0},y_{0}) é a derivada parcial de f em relação a x avaliada em (x_{0},y_{0});
  • f_{y}(x_{0},y_{0}) é a derivada parcial de f em relação a y avaliada em (x_{0},y_{0}).
O que é derivada parcial? É a taxa de variação de f quando só uma variável muda e a outra fica fixa. Por exemplo, f_{x}(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x} é obtida derivando f em relação a x tratando y como constante.
Outra forma útil (ligada ao mesmo resultado) é obter um vetor normal ao plano tangente: \big(-f_{x}(x_{0},y_{0}),-f_{y}(x_{0},y_{0}),1\big). A equação do plano também pode ser escrita usando esse vetor normal, mas aqui usaremos diretamente a fórmula da linearização pois é mais direta na prova.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=3x^{2}y-x.
Derivada parcial em relação a x: tratamos y como constante e derivamos termo a termo.
\begin{aligned} f_{x}(x,y) &= \frac{\partial}{\partial x}\big(3x^{2}y - x\big)\\[4pt] &= 3\cdot(2x)\cdot y - 1\\[4pt] &= 6xy - 1. \end{aligned}
Derivada parcial em relação a y: tratamos x como constante.
\begin{aligned} f_{y}(x,y) &= \frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}y - x\big)\\[4pt] &= 3x^{2}. \end{aligned}]

Passo 4

Avaliar f, f_{x} e f_{y} no ponto (x_{0},y_{0})=(1,2).
Primeiro, verificamos f(1,2):
f(1,2)=3\cdot 1^{2}\cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5.
Isso confirma que o ponto dado tem coordenada z_{0}=5 compatível com a superfície.
Agora f_{x}(1,2):
f_{x}(1,2)=6\cdot 1 \cdot 2 - 1 = 12 - 1 = 11.
E f_{y}(1,2):
f_{y}(1,2)=3\cdot 1^{2}=3.

Passo 5

Aplicar a fórmula do plano tangente com os valores calculados.
A fórmula é
z = f(x_{0},y_{0}) + f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Substituindo f(1,2)=5, f_{x}(1,2)=11, f_{y}(1,2)=3, x_{0}=1, y_{0}=2:
z = 5 + 11\,(x-1) + 3\,(y-2).
Agora simplificamos a expressão (para ficar numa forma mais usual):
\begin{aligned} z &= 5 + 11x - 11 + 3y - 6\\[4pt] z &= 11x + 3y + (5 -11 -6)\\[4pt] z &= 11x + 3y - 12. \end{aligned}
Também podemos escrever em forma padrão (ax+by+cz+d=0) como:
11x + 3y - z - 12 = 0.]

Passo 6

Resumo prático para a prova (dica de amigo): para qualquer z=f(x,y) e ponto (x_{0},y_{0},z_{0}),
  1. calcule f_{x} e f_{y},
  2. avalie-os em (x_{0},y_{0}),
  3. use z = f(x_{0},y_{0}) + f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}).
    Se lembrar disso, resolve qualquer plano tangente rápido — respira, dá pra fazer! 😃

Resposta

z = 11x + 3y - 12

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