(2,5 pontos)
Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida por
e pede a equação do plano tangente a essa superfície no ponto
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática): o plano tangente à superfície
no ponto
é a melhor aproximação linear da função perto desse ponto. A fórmula do plano tangente (linearização) é
onde:
-
é a derivada parcial de em relação a avaliada em ; -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em .
O que é derivada parcial? É a taxa de variação de
quando só uma variável muda e a outra fica fixa. Por exemplo,
é obtida derivando
em relação a
tratando
como constante.
Outra forma útil (ligada ao mesmo resultado) é obter um vetor normal ao plano tangente:
. A equação do plano também pode ser escrita usando esse vetor normal, mas aqui usaremos diretamente a fórmula da linearização pois é mais direta na prova.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Derivada parcial em relação a
: tratamos
como constante e derivamos termo a termo.
Derivada parcial em relação a
: tratamos
como constante.
Passo 4
Avaliar
,
e
no ponto
.
Primeiro, verificamos
:
Isso confirma que o ponto dado tem coordenada
compatível com a superfície.
Agora
:
E
:
Passo 5
Aplicar a fórmula do plano tangente com os valores calculados.
A fórmula é
Substituindo
,
,
,
,
:
Agora simplificamos a expressão (para ficar numa forma mais usual):
Também podemos escrever em forma padrão (ax+by+cz+d=0) como:
Passo 6
Resumo prático para a prova (dica de amigo): para qualquer
e ponto
,
- calcule
e , - avalie-os em
, - use
.
Se lembrar disso, resolve qualquer plano tangente rápido — respira, dá pra fazer! 😃