1. Demonstre que |a times b|^2 <= a^2 cdot b^2. Verificar quando ocorre a igualdade.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
|atimes b|^2 <= a^2,b^2
O conteúdo envolve as fórmulas que relacionam produto escalar, produto vetorial e o ângulo theta entre a e b:
acdotb=|a|,|b|costheta e |atimesb|=|a|,|b|sintheta.

Passo 2

Recordamos as definições em função de theta:
acdot b=|a|,|b|costheta,
|atimes b|=|a|,|b|sintheta

Passo 3

Usando a identidade trigonométrica sin^2theta+cos^2theta=1 e multiplicando por |a|^2|b|^2, obtemos
|a|^2|b|^2 =|a|^2|b|^2sin^2theta +|a|^2|b|^2cos^2theta =|atimesb|^2+(acdotb)^2

Passo 4

Como (acdotb)^2>=0, segue
|atimesb|^2 =|a|^2|b|^2-(acdotb)^2 <=|a|^2|b|^2

Passo 5

A igualdade ocorre quando (acdotb)^2=0, ou seja, acdotb=0. Isso significa que a e b são ortogonais ( aperpb).

Resposta

Demonstra-se que
|atimes b|^2 <= a^2,b^2,
com igualdade se, e somente se, aperpb.

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