Nos Exercicios de la 1 a 14 determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado nos dá a série alternada
e pede para decidir se ela converge ou diverge.
Conteúdo: critério de Leibniz para séries alternadas (teste de convergência condicional) e teste de comparação (para convergência absoluta).
Conteúdo: critério de Leibniz para séries alternadas (teste de convergência condicional) e teste de comparação (para convergência absoluta).
Passo 2
Definimos
que é a parte positiva dos termos. Primeiro cheque se
.
Usando limite assintótico,
Usando limite assintótico,
Passo 3
Verificamos que
é decrescente a partir de alguma
. Considere
Calculando a derivada,
Logo
é decrescente e, portanto,
para todo
.
Passo 4
Pela versão estendida do critério de Leibniz, como
,
e
é decrescente, a série alternada
converge.
Passo 5
Para verificar convergência absoluta, analisamos
Como
e a série
(p-série com
) diverge, pela comparação-limite concluímos que
diverge. Logo não há convergência absoluta.
Resposta
A série
converge condicionalmente (convergência alternada pelo critério de Leibniz, mas diverge em módulo).