Nos Exercicios de la 1 a 14 determine se a série alternada dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n raizn3 n-1

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n raizn3n-1
e pede para decidir se ela converge ou diverge.
Conteúdo: critério de Leibniz para séries alternadas (teste de convergência condicional) e teste de comparação (para convergência absoluta).

Passo 2

Definimos
an = raizn3n-1,
que é a parte positiva dos termos. Primeiro cheque se limntoinftyan=0.
Usando limite assintótico,
an = raizn3n-1 sim raizn3n = 13n^-1/2 longrightarrow 0

Passo 3

Verificamos que an é decrescente a partir de alguma n. Considere
f(x)=raizx3x-1, x>=1
Calculando a derivada,
f'(x) =12raizx,(3x-1)-3raizx(3x-1)^2 =-3x-12raizx,(3x-1)^2<0forall x>=1
Logo f é decrescente e, portanto, an+1<an para todo n>=1.

Passo 4

Pela versão estendida do critério de Leibniz, como an>=0, limntoinftyan=0 e an é decrescente, a série alternada
sumn=1^infty(-1)^nan
converge.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, analisamos
sumn=1^infty |(-1)^n an| = sumn=1^infty raizn3n-1
Como raizn3n-1sim tfrac13 n^-1/2 e a série sum n^-1/2 (p-série com p=tfrac12) diverge, pela comparação-limite concluímos que
sumn=1^inftyraizn3n-1
diverge. Logo não há convergência absoluta.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n raizn3n-1 converge condicionalmente (convergência alternada pelo critério de Leibniz, mas diverge em módulo).

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