Demonstre que
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se $ |x| < 2 $ implica $ |x - 1| < 3 $, e que isso por sua vez implica $ |x| < 4 $. Aqui, estamos trabalhando com propriedades de valores absolutos e implicações lógicas. Para resolver isso, vamos usar definições básicas de valor absoluto e manipular as desigualdades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que $ |x| < 2 $ significa. O valor absoluto de $ x $ sendo menor que 2 indica que $ x $ está dentro do intervalo entre -2 e 2. Ou seja:
Passo 3
Agora, queremos mostrar que $ |x| < 2 $ implica $ |x - 1| < 3 $. Vamos pegar a desigualdade $ -2 < x < 2 $ e subtrair 1 de cada parte da inequação:
O valor absoluto de $ x - 1 $ é a distância entre $ x $ e 1 na reta numérica. Da desigualdade acima, vemos que $ x - 1 $ está entre -3 e 1, o que significa que:
Então, mostramos que se $ |x| < 2 $, então necessariamente $ |x - 1| < 3 $.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que $ |x - 1| < 3 $ implica $ |x| < 4 $. A desigualdade $ |x - 1| < 3 $ significa que $ x - 1 $ está entre -3 e 3:
Vamos somar 1 em todas as partes da inequação para isolar $ x $:
O valor absoluto de $ x $ sendo menor que 4 significa que $ x $ está entre -4 e 4. Porém, da nossa desigualdade $ -2 < x < 4 $, vemos que $ x $ está ainda mais restrito. Portanto:
Isso comprova que $ |x - 1| < 3 $ implica $ |x| < 4 $.
Resposta
Assim, demonstramos que $ |x| < 2 \Rightarrow |x - 1| < 3 \Rightarrow |x| < 4 $ é verdadeira.