Obtenha uma representação em série de potências em torno de a (dado abaixo) para as funções, abaixo, e determine o intervalo de convergência de cada uma.
f(x)=x^22-1+cos (x), a=0 ;

Passo 1

Temos a função f(x)=x²/2−1+cos(x) e queremos seu desenvolvimento em série de potências em torno de a=0. Esse tipo de série é chamado de Maclaurin, e vamos precisar da expansão conhecida de cos(x).

Passo 2

A série de Maclaurin de cos(x) é dada por
cos(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!

Passo 3

Substituindo em f(x):
f(x)=x^22-1+sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!
Repare que os termos n=0 e n=1 de cos(x) são 1 e -x²/2, que cancelam +(-1) e +x²/2 de f(x). Assim restam apenas os termos a partir de n=2:
f(x)=sumn=2^infty(-1)^nx^2n(2n)!

Passo 4

Para determinar o intervalo de convergência, aplicamos o critério da razão ao termo geral a_n = (-1)^n x^{2n}/(2n)!:
limntoinfty|an+1an|=limntoinfty|x|^2(2n+2)(2n+1)=0<1
Isso mostra que o raio de convergência é infinito, logo a série converge para todo x real.

Resposta

A série de potências de f(x) em torno de 0 é
f(x)=sumn=2^infty(-1)^nx^2n(2n)!,
e seu intervalo de convergência é (−∞,∞).

Exercícios relacionados