Obtenha uma representação em série de potências em torno de
(dado abaixo) para as funções, abaixo, e determine o intervalo de convergência de cada uma.
Passo 1
Temos a função f(x)=x²/2−1+cos(x) e queremos seu desenvolvimento em série de potências em torno de a=0. Esse tipo de série é chamado de Maclaurin, e vamos precisar da expansão conhecida de cos(x).
Passo 2
A série de Maclaurin de cos(x) é dada por
Passo 3
Substituindo em f(x):
Repare que os termos n=0 e n=1 de cos(x) são 1 e -x²/2, que cancelam +(-1) e +x²/2 de f(x). Assim restam apenas os termos a partir de n=2:
Passo 4
Para determinar o intervalo de convergência, aplicamos o critério da razão ao termo geral a_n = (-1)^n x^{2n}/(2n)!:
Isso mostra que o raio de convergência é infinito, logo a série converge para todo x real.
Resposta
A série de potências de f(x) em torno de 0 é
e seu intervalo de convergência é (−∞,∞).