Um determinado material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade de material presente num determinado tempo. Determine a meia-vida T se o material perde um terço da sua massa em 12 dias. A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo que a substância leva para que sua massa decaia à metade da quantidade original.
Dados: Admita ln 2=0,69 e ln 3=1,09.

Passo 1

O enunciado pede para achar a meia-vida de um material radioativo que decai segundo uma lei de decaimento exponencial, sabendo que ele perde um terço da massa em 12 dias. O conteúdo envolve decaimento exponencial e usaremos a lei m(t)=m0e^-kt para determinar a constante de decaimento k e depois a meia-vida T.

Passo 2

Como a taxa de decaimento é proporcional à quantidade presente, a solução geral é m(t)=m0e^-kt, em que m0 é a massa inicial e k>0 a constante de decaimento. Essa forma vem da resolução da equação diferencial dmdt=-km.

Passo 3

Usando o dado de que em 12 dias resta tfrac23 da massa, temos
e^-12k=23
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados e lembrando que ln(2/3)=ln2-ln3, obtemos
-12k=ln2-ln3=0,69-1,09=-0,40
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k=0,4012approx0,0333;(por dia)

Passo 4

A meia-vida T satisfaz m(T)=m0/2, isto é
e^-kT=12
Tomando ln em ambos os lados,
-kT=lnl(tfrac12r)=-ln2=-0,69
e então
T=0,69k=0,690,40/12=0,69times120,40approx20,7;dias

Resposta

Tapprox20,7 dias

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