Um determinado material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade de material presente num determinado tempo. Determine a meia-vida
se o material perde um terço da sua massa em 12 dias. A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo que a substância leva para que sua massa decaia à metade da quantidade original.
Dados: Admita
e
.
Dados: Admita
Passo 1
O enunciado pede para achar a meia-vida de um material radioativo que decai segundo uma lei de decaimento exponencial, sabendo que ele perde um terço da massa em 12 dias. O conteúdo envolve decaimento exponencial e usaremos a lei
para determinar a constante de decaimento
e depois a meia-vida
.
Passo 2
Como a taxa de decaimento é proporcional à quantidade presente, a solução geral é
, em que
é a massa inicial e
a constante de decaimento. Essa forma vem da resolução da equação diferencial
.
Passo 3
Usando o dado de que em 12 dias resta
da massa, temos
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados e lembrando que
, obtemos
Logo
Passo 4
A meia-vida
satisfaz
, isto é
Tomando ln em ambos os lados,
e então