Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
80) sumk=1^infty (-1)^k+1 k^2(k+2)!

Passo 1

Vamos verificar a série sumk=1^infty(-1)^k+1k^2(k+2)!. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries, em particular convergência absoluta via teste da razão.

Passo 2

Para checar convergência absoluta, olhamos a série dos valores absolutos sumk=1^inftyk^2(k+2)! e aplicamos o teste da razão. Seja ak=k^2(k+2)!. Então
ak+1ak=(k+1)^2/(k+3)!k^2/(k+2)!=(k+1)^2k^2cdot1k+3=(k+1)^2k^2,(k+3)

Passo 3

Ao calcular o limite quando ktoinfty:
limktoinfty(k+1)^2k^2,(k+3)=limktoinftyk^2+2k+1k^3+3k^2=0<1

Passo 4

Como o limite do teste da razão é menor que 1, a série de valores absolutos converge. Logo, a série original converge absolutamente.

Passo 5

Uma vez que ela converge absolutamente, não se trata de convergência condicional, pois convergência absoluta é mais forte que condicional.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, não converge condicionalmente.

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