Demonstre que, para uma partícula de massa m , momento p e energia cinética Ec , as seguintes equações são válidas:
e
.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado pede pra gente mostrar duas fórmulas que ligam massa
, momento
e energia cinética
de uma partícula relativística. O conteúdo é a famosa relação energia–momento da relatividade:
e também que a energia total
é a soma da energia de repouso
com a cinética
. Vamos usar essas duas ideias pra chegar nas expressões pedidas:
Passo 2
Primeiro, define a energia total
da partícula como
A teoria clássica da relatividade fala que essa energia total satisfaz
Isso é tipo “o balanço” entre energia de massa e energia de movimento.
Passo 3
Agora, a gente quer isolar
. Começa de
Mas lembra que
. Então
Substituindo em
:
Logo
Isso mostra a primeira fórmula.
Passo 4
Pra segunda fórmula, a gente parte de novo de
E já sabemos que
. Então isola
:
Pronto, chegamos na segunda.
Resposta
As duas expressões valem: