Demonstre que, para uma partícula de massa m , momento p e energia cinética Ec , as seguintes equações são válidas: p=(E^2 c+2 m c^2 E c)^1 / 2 / c e E c=[(m c^2)^2+(p c)^2]^1 / 2-m c^2.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado pede pra gente mostrar duas fórmulas que ligam massa E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2,, momento e energia cinética de uma partícula relativística. O conteúdo é a famosa relação energia–momento da relatividade:
e também que a energia total é a soma da energia de repouso com a cinética . Vamos usar essas duas ideias pra chegar nas expressões pedidas:

Passo 2

Primeiro, define a energia total E = Ec + mc^2 da partícula como
E^2 = (p,c)^2 + (m,c^2)^2
A teoria clássica da relatividade fala que essa energia total satisfaz
Isso é tipo “o balanço” entre energia de massa e energia de movimento.

Passo 3

Agora, a gente quer isolar E^2 = (p,c)^2 + m^2c^4 ;;Longrightarrow;; (p,c)^2 = E^2 - m^2c^4 ;;Longrightarrow;; p^2 = E^2 - m^2c^4c^2 . Começa de
E^2 = (Ec + mc^2)^2 = Ec^2 + 2,mc^2,Ec + m^2c^4
Mas lembra que E^2 - m^2c^4 = Ec^2 + 2,m,c^2,Ec . Então
p^2 = Ec^2 + 2,m,c^2,Ecc^2 Longrightarrow p = raizEc^2 + 2,m,c^2,Ecc
Substituindo em :
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Isso mostra a primeira fórmula.

Passo 4

Pra segunda fórmula, a gente parte de novo de
E^2 = (p,c)^2 + m^2c^4 ;;Longrightarrow;; E = raiz(p,c)^2 + m^2c^4
E já sabemos que Ec = E - mc^2 = raiz(p,c)^2 + m^2c^4;-;mc^2 . Então isola :
Pronto, chegamos na segunda.

Resposta

As duas expressões valem:
boxedp ;=;raizEc^2 + 2,m,c^2,Ecc e boxedEc ;=;raiz(m,c^2)^2 + (p,c)^2;-;m,c^2

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