Demonstre, a partir da Eq. 5-23, que a velocidade de grupo também pode ser expressa na fórma vg=v-lambda(d v / d lambda).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra mostrar, a partir da Eq. 5-23, que a velocidade de grupo vg ;=; v ;-;lambda,dvdlambda também pode ser escrita como
vg ;=;domegadk,
Isso faz parte de “velocidade de fase vs. velocidade de grupo” em propagação de ondas. A Eq. 5-23 é justamente
v ;=;omegak
onde k ;=;2pilambda é a frequência angular e é o número de onda. Para resolver, vamos precisar da definição de velocidade de fase
e da relação entre e comprimento de onda :

Passo 2

Primeiro, a gente escreve omega = v,k em função de e da velocidade de fase . Como , temos
Aqui pode depender de (ou de ), mas a forma geral é essa.

Passo 3

Agora usamos a Eq. 5-23:
vg = domegadk
Substituindo domegadk =ddk(v,k) = v + k,dvdk , aplicamos a regra do produto:

Passo 4

A gente quer passar da derivada em lambda = 2pik Longrightarrow dlambda = -2pik^2,dk Longrightarrow dlambdadk = -lambdak para derivada em dvdk = dvdlambda,dlambdadk = dvdlambda,l(-lambdakr) = -lambdak,dvdlambda . Sabemos que
vg = v + kl(-lambdakdvdlambdar) = v - lambda,dvdlambda
Logo,
Substituindo em :

Resposta

boxedvg ;=; v ;-;lambda,dvdlambda

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