No espaço limitado por duas superfícies planas paralelas (z=-a e z=+a) existe uma distribuição de carga rho=alpha z. Considere apenas pontos tais que a sua distância a qualquer um dos planos referidos é muito inferior à sua distância aos limites da distribuição de carga, de tal forma que podemos calcular o campo eléctrico fazendo a aproximação de que a distribuição de carga tem extensão infinita nas direcções x e y.
Determine a carga por unidade de área existente entre os planos.

Passo 1

O enunciado diz que, num “chapéu” entre dois planos paralelos em rho(z)=alpha,z e , há uma densidade volumétrica de carga
e que, nas direções e , a distribuição é tão grande que a gente pode tratar como infinita.
Conteúdo: densidade de carga volumétrica e cálculo de carga total por área usando integração.
O que vamos precisar:
  1. Saber que a carga total num volume é .
  2. Escolher uma área “unitária” em e para achar carga por unidade de área.

Passo 2

Teoria básica:
  • Densidade volumétrica de carga sigma ;=;QA ;=;integral-a^+a!rho(z),dz relaciona carga num pedacinho de volume : .
  • Se a distribuição é uniforme em , a gente pega uma área fixa (por simplicidade ) e integra só em .
    Então a carga por área, que vou chamar de , é
porque e .

Passo 3

Montando o integral:
sigma ;=;integral-a^+a alpha,z ;dz
Aqui é constante e varia de a .

Passo 4

Calculemos:
sigma =alphaintegral-a^+a z,dz =alphal[tfracz^22r]-a^+a =alphal(tfrac(+a)^22-tfrac(-a)^22r) =alphal(tfraca^22-tfraca^22r) =0

Resposta

A carga total por unidade de área entre os planos é zero.

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