(a) Demonstre, a partir da Equação 5-16, que a velocidade de grupo também pode ser expressa na forma
vg=vp-lambda(d vp / d lambda)
(b) A velocidade de fase da luz no vidro comum varia com o comprimento de onda, ou seja, o vidro é um meio dispersivo. Qual é a forma geral da variação de v com lambda no vidro? O valor de d v / d lambda é positivo ou negativo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício sobre velocidade de grupo e velocidade de fase em meios dispersivos, que é um assunto da física ondulatória. Precisamos entender como esses conceitos se relacionam e como a velocidade de fase varia com o comprimento de onda no vidro. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que ligam essas velocidades e um pouco de cálculo para derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício. A gente precisa demonstrar que a velocidade de grupo $ v_g $ pode ser expressa como:
vg
Aqui, $ v_p $ é a velocidade de fase e $ \lambda $ é o comprimento de onda.

Passo 3

Para começar, vamos lembrar que a velocidade de grupo $ v_g $ é dada pela derivada da frequência $ \omega $ em relação ao número de onda $ k $:
vg
E a velocidade de fase $ v_p $ é a relação entre a frequência e o número de onda:
omega

Passo 4

Agora, precisamos relacionar $ \omega $ e $ k $ com o comprimento de onda $ \lambda $. Sabemos que:
omega
Mas para facilitar a derivada, vamos expressar $ \omega $ em termos de $ \lambda $. Reescrevendo $ v_p $:
k
Isolando $ \omega $:
lambda

Passo 5

Agora, vamos substituir $ \omega $ na expressão de $ v_g $:
omega
Mas $ k = \frac{2\pi}{\lambda} $, então $ \frac{d}{dk} = \frac{d\lambda}{dk} \cdot \frac{d}{d\lambda} $. Calculando $ \frac{d\lambda}{dk} $:
vg

Passo 6

Voltando à expressão de $ v_g $:
vg
Simplificando:
vg = -lambda^22pi cdot ddlambda ( 2pi vplambda )
vg = -lambda^22pi cdot ( 2pilambda dvpdlambda - 2pi vplambda^2 )
vg = -lambda^22pi cdot 2pilambda dvpdlambda + lambda^22pi cdot 2pi vplambda^2

Passo 7

Rearranjando a expressão, temos:
vg = vp - lambda ( dvpdlambda )
Isso é exatamente o que queríamos demonstrar! 🎉

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b). A questão pergunta como a velocidade de fase $ v $ varia com o comprimento de onda $ \lambda $ no vidro e se a derivada $ \frac{dv}{d\lambda} $ é positiva ou negativa.

Passo 9

Sabemos que o vidro é um meio dispersivo, o que significa que a velocidade de fase depende do comprimento de onda. Geralmente, em meios dispersivos como o vidro, a velocidade de fase aumenta com o aumento do comprimento de onda. Isso ocorre porque, conforme $ \lambda $ aumenta, a frequência $ \omega $ diminui, levando a uma redução no índice de refração.

Passo 10

Portanto, a relação geral da variação de $ v $ com $ \lambda $ no vidro é que $ v $ aumenta quando $ \lambda $ aumenta. Isso implica que a derivada $ \frac{dv}{d\lambda} $ é positiva.

Resposta

(a) Demonstramos que a velocidade de grupo é $ v_{g} = v_{p} - \lambda \left( \frac{dv_{p}}{d\lambda} \right) $.
(b) No vidro, a velocidade de fase $ v $ aumenta com o comprimento de onda $ \lambda $, ou seja, $ \frac{dv}{d\lambda} $ é positiva.

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