(a) Demonstre, a partir da Equação 5-16, que a velocidade de grupo também pode ser expressa na forma
(b) A velocidade de fase da luz no vidro comum varia com o comprimento de onda, ou seja, o vidro é um meio dispersivo. Qual é a forma geral da variação de
no vidro? O valor de
é positivo ou negativo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício sobre velocidade de grupo e velocidade de fase em meios dispersivos, que é um assunto da física ondulatória. Precisamos entender como esses conceitos se relacionam e como a velocidade de fase varia com o comprimento de onda no vidro. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que ligam essas velocidades e um pouco de cálculo para derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício. A gente precisa demonstrar que a velocidade de grupo $ v_g $ pode ser expressa como:
Aqui, $ v_p $ é a velocidade de fase e $ \lambda $ é o comprimento de onda.
Passo 3
Para começar, vamos lembrar que a velocidade de grupo $ v_g $ é dada pela derivada da frequência $ \omega $ em relação ao número de onda $ k $:
E a velocidade de fase $ v_p $ é a relação entre a frequência e o número de onda:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar $ \omega $ e $ k $ com o comprimento de onda $ \lambda $. Sabemos que:
Mas para facilitar a derivada, vamos expressar $ \omega $ em termos de $ \lambda $. Reescrevendo $ v_p $:
Isolando $ \omega $:
Passo 5
Agora, vamos substituir $ \omega $ na expressão de $ v_g $:
Mas $ k = \frac{2\pi}{\lambda} $, então $ \frac{d}{dk} = \frac{d\lambda}{dk} \cdot \frac{d}{d\lambda} $. Calculando $ \frac{d\lambda}{dk} $:
Passo 6
Voltando à expressão de $ v_g $:
Simplificando:
Passo 7
Rearranjando a expressão, temos:
Isso é exatamente o que queríamos demonstrar! 🎉
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b). A questão pergunta como a velocidade de fase $ v $ varia com o comprimento de onda $ \lambda $ no vidro e se a derivada $ \frac{dv}{d\lambda} $ é positiva ou negativa.
Passo 9
Sabemos que o vidro é um meio dispersivo, o que significa que a velocidade de fase depende do comprimento de onda. Geralmente, em meios dispersivos como o vidro, a velocidade de fase aumenta com o aumento do comprimento de onda. Isso ocorre porque, conforme $ \lambda $ aumenta, a frequência $ \omega $ diminui, levando a uma redução no índice de refração.
Passo 10
Portanto, a relação geral da variação de $ v $ com $ \lambda $ no vidro é que $ v $ aumenta quando $ \lambda $ aumenta. Isso implica que a derivada $ \frac{dv}{d\lambda} $ é positiva.
Resposta
(a) Demonstramos que a velocidade de grupo é $ v_{g} = v_{p} - \lambda \left( \frac{dv_{p}}{d\lambda} \right) $.
(b) No vidro, a velocidade de fase $ v $ aumenta com o comprimento de onda $ \lambda $, ou seja, $ \frac{dv}{d\lambda} $ é positiva.
(b) No vidro, a velocidade de fase $ v $ aumenta com o comprimento de onda $ \lambda $, ou seja, $ \frac{dv}{d\lambda} $ é positiva.