Mostre que a relação Dehbar pode ser escrita na forma Dehbar para uma partícula que esteja se movendo em círculos em torno do eixo dos z, onde ps é o momento linear tangencial ao círculo, s é o comprimento de um arco de círculo, L é o momento angular e varphi é o ângulo subtendido pelo arco de círculo. Com que precisão é possível especificar a posição angular do elétron no átomo de Bohr?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a relação de incerteza De hbar pode ser escrita como De hbar para uma partícula que se move em círculos ao redor do eixo z. Aqui, ps é o momento linear tangencial, s é o comprimento de um arco do círculo, L é o momento angular e varphi é o ângulo subtendido pelo arco. Além disso, queremos saber com que precisão podemos determinar a posição angular do elétron no átomo de Bohr. Para resolver isso, vamos usar a relação de incerteza de Heisenberg e entender como esses conceitos se relacionam em um movimento circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o momento linear tangencial ps e o momento angular L. Em um movimento circular, o momento angular L está relacionado ao momento linear tangencial pela fórmula:
L = ps cdot r
onde r é o raio da trajetória circular.

Passo 3

Agora, vamos relacionar o comprimento do arco s com o ângulo varphi. Sabemos que o comprimento de um arco em um círculo é dado por:
s = r cdot varphi
onde varphi está em radianos.

Passo 4

Vamos agora expressar o momento linear tangencial ps em termos do momento angular L:
ps = Lr
Substituindo essa expressão na relação de incerteza original De hbar, temos:
Simplificando, como r é constante:

Passo 5

Agora, queremos descobrir com que precisão podemos especificar a posição angular varphi do elétron no átomo de Bohr. A relação que obtivemos é:
Assumindo que a incerteza no momento angular De é da ordem de hbar (já que L é quantizado em múltiplos de hbar no modelo de Bohr), podemos rearranjar a equação para encontrar De:
Substituindo De, temos:

Resposta

A precisão com que podemos especificar a posição angular do elétron no átomo de Bohr é da ordem de 1 radiano.

Exercícios relacionados