Mostre que a relação
pode ser escrita na forma
para uma partícula que esteja se movendo em círculos em torno do eixo dos
, onde
é o momento linear tangencial ao círculo,
é o comprimento de um arco de círculo,
é o momento angular e
é o ângulo subtendido pelo arco de círculo. Com que precisão é possível especificar a posição angular do elétron no átomo de Bohr?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a relação de incerteza
pode ser escrita como
para uma partícula que se move em círculos ao redor do eixo
. Aqui,
é o momento linear tangencial,
é o comprimento de um arco do círculo,
é o momento angular e
é o ângulo subtendido pelo arco. Além disso, queremos saber com que precisão podemos determinar a posição angular do elétron no átomo de Bohr. Para resolver isso, vamos usar a relação de incerteza de Heisenberg e entender como esses conceitos se relacionam em um movimento circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o momento linear tangencial
e o momento angular
. Em um movimento circular, o momento angular
está relacionado ao momento linear tangencial pela fórmula:
onde
é o raio da trajetória circular.
Passo 3
Agora, vamos relacionar o comprimento do arco
com o ângulo
. Sabemos que o comprimento de um arco em um círculo é dado por:
onde
está em radianos.
Passo 4
Vamos agora expressar o momento linear tangencial
em termos do momento angular
:
Substituindo essa expressão na relação de incerteza original
, temos:
Simplificando, como
é constante:
Passo 5
Agora, queremos descobrir com que precisão podemos especificar a posição angular
do elétron no átomo de Bohr. A relação que obtivemos é:
Assumindo que a incerteza no momento angular
é da ordem de
(já que
é quantizado em múltiplos de
no modelo de Bohr), podemos rearranjar a equação para encontrar
:
Substituindo
, temos:
Resposta
A precisão com que podemos especificar a posição angular do elétron no átomo de Bohr é da ordem de 1 radiano.