Demonstre que o plano tangente à esfera
em um de seus pontos (
) tem equação
.
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano tangente à esfera definida por
no ponto
. Isso é um problema de superfície implícita, cujo plano tangente pode ser obtido usando o vetor gradiente como normal.
Passo 2
Definimos a função implícita
A esfera é o nível zero dessa função, ou seja,
.
Passo 3
Calculamos o vetor gradiente de
:
No ponto
,
Passo 4
O plano tangente a uma superfície implícita
em
satisfaz
Substituindo o gradiente e o vetor
, temos
Passo 5
Fazendo o produto escalar e dividindo por 2,
Como
está na esfera,
.
Passo 6
Substituindo
na equação anterior, obtemos
ou seja