Demonstre que o plano tangente à esfera x^2+y^2+z^2=r^2 em um de seus pontos ( x0, y0, z0 ) tem equação x0 x+y0 y+z0 z=r^2.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à esfera definida por
x^2+y^2+z^2=r^2
no ponto (x0,y0,z0). Isso é um problema de superfície implícita, cujo plano tangente pode ser obtido usando o vetor gradiente como normal.

Passo 2

Definimos a função implícita
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-r^2
A esfera é o nível zero dessa função, ou seja, f(x,y,z)=0.

Passo 3

Calculamos o vetor gradiente de f:
nabla f(x,y,z) =l(tfracpartial fpartial x,tfracpartial fpartial y,tfracpartial fpartial zr) =(2x,2y,2z)
No ponto (x0,y0,z0),
nabla f(x0,y0,z0)=(2x0,2y0,2z0)

Passo 4

O plano tangente a uma superfície implícita f=0 em (x0,y0,z0) satisfaz
nabla f(x0,y0,z0)cdotl((x,y,z)-(x0,y0,z0)r)=0
Substituindo o gradiente e o vetor (x,y,z)-(x0,y0,z0), temos
(2x0,2y0,2z0)cdot(x-x0,y-y0,z-z0)=0

Passo 5

Fazendo o produto escalar e dividindo por 2,
x0(x-x0)+y0(y-y0)+z0(z-z0)=0
Longrightarrow x0x+y0y+z0z -l(x0^2+y0^2+z0^2r)=0
Como (x0,y0,z0) está na esfera, x0^2+y0^2+z0^2=r^2.

Passo 6

Substituindo x0^2+y0^2+z0^2=r^2 na equação anterior, obtemos
x0x+y0y+z0z-r^2=0,
ou seja

Resposta

x0x+y0y+z0z=r^2

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