Exercício 1.3.6. Determine e descreva o esboço do domínio das funções de 3 variáveis:
g(x, y, z)=ln (36-4 x^2-y^2-4 z^2).

Passo 1

O enunciado dá a função de três variáveis
g(x,y,z) = lnl(36 - 4x^2 - y^2 - 4z^2r)
e pede o domínio, isto é, o conjunto de (x,y,z) em que o logaritmo natural está bem-definido. Para isso vamos usar que a função ln(t) exige t>0.

Passo 2

Impondo a condição de positividade do argumento do logaritmo, temos
36 - 4x^2 - y^2 - 4z^2 > 0
Rearranjando,
4x^2 + y^2 + 4z^2 < 36

Passo 3

Para reconhecer a forma geométrica, dividimos ambos os lados por 36:
4x^236 + y^236 + 4z^236 < 1 ;;Longrightarrow;; x^29 + y^236 + z^29 < 1
Isto é a inequação de um elipsoide aberto centrado na origem.

Passo 4

O domínio é, portanto, o interior desse elipsoide, que intercepta os eixos coordenados nos pontos
(x,y,z) = (pm3,0,0), (0,pm6,0), (0,0,pm3)
Geometricamente, é a região cheia, mas sem a superfície, de um elipsoide com semi-eixos 3 em x e z e 6 em y.

Resposta

O domínio de g é
l(x,y,z)inR^3 mid tfracx^29 + tfracy^236 + tfracz^29 < 1 r,
isto é, o interior do elipsoide de semi-eixos 3,6,3 centrado na origem.

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