Exercício 1.5.1. Para cada uma das seguintes funções, analise-as quanto à continuidade e classifique os pontos de descontinuidade, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a continuidade da função
no conjunto dos seus pontos de definição e, caso haja descontinuidade, classificá-la. O conteúdo aqui é análise de continuidade de funções envolvendo exponenciais e pontos em que o denominador pode se anular.
Passo 2
Identificamos o domínio natural de
. Como o numerador
está sempre definido e o denominador
não pode ser zero, temos
Em todo ponto
, as funções
e
são contínuas e a divisão por um número não nulo preserva a continuidade. Logo,
é contínua em todo
.
Passo 3
Falta checar o comportamento em
. Como
, só podemos falar de descontinuidade se o limite
existir ou não. Note que ao calcular
temos forma
, então aplicamos a regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador, obtendo
Portanto, o limite existe e vale
.
Passo 4
Como
é finito, mas
não está definido, concluímos que em
há descontinuidade removível. Se definíssemos
, a função ficaria contínua em todo
.
Resposta
A função
é contínua em
e possui em
uma descontinuidade removível, pois