Exercício 1.5.1. Para cada uma das seguintes funções, analise-as quanto à continuidade e classifique os pontos de descontinuidade, caso existam:
f(x)=e^x-e^-xx

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função
f(x)=e^x-e^-xx
no conjunto dos seus pontos de definição e, caso haja descontinuidade, classificá-la. O conteúdo aqui é análise de continuidade de funções envolvendo exponenciais e pontos em que o denominador pode se anular.

Passo 2

Identificamos o domínio natural de f. Como o numerador e^x-e^-x está sempre definido e o denominador x não pode ser zero, temos
Dom(f)=Rsetminus0
Em todo ponto xneq0, as funções e^x e e^-x são contínuas e a divisão por um número não nulo preserva a continuidade. Logo, f é contínua em todo xneq0.

Passo 3

Falta checar o comportamento em x=0. Como 0notinDom(f), só podemos falar de descontinuidade se o limite limxto0f(x) existir ou não. Note que ao calcular
limxto0e^x-e^-xx
temos forma tfrac00, então aplicamos a regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador, obtendo
limxto0e^x-e^-xx =limxto0e^x+e^-x1 =e^0+e^0=2
Portanto, o limite existe e vale 2.

Passo 4

Como limxto0f(x)=2 é finito, mas f(0) não está definido, concluímos que em x=0 há descontinuidade removível. Se definíssemos f(0)=2, a função ficaria contínua em todo R.

Resposta

A função f é contínua em Rsetminus0 e possui em x=0 uma descontinuidade removível, pois
limxto0f(x)=2

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