Demonstre que podemos escrever a seguinte identidade trigonométrica:
\sin (a)+\sin (b)=2 \sin \left(\frac{a+b}{2}\right) \cos \left(\frac{a-b}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica
\sin (a)+\sin (b)=2 \sin \left(\frac{a+b}{2}\right) \cos \left(\frac{a-b}{2}\right).
Informações dadas:
  • As expressões envolvem as funções trigonométricas \sin e \cos.
  • a e b são ângulos (podem estar em radianos ou graus; a identidade vale em ambos os sistemas desde que seja consistente).
  • O objetivo é transformar o lado esquerdo \sin(a)+\sin(b) no lado direito mostrado.

Passo 2

Vamos usar uma substituição que simplifica somas e diferenças de ângulos. Defina dois novos ângulos \,u e \,v por
u=\frac{a+b}{2},\qquad v=\frac{a-b}{2}.
A ideia é que, com essa escolha, os ângulos a e b podem ser escritos em função de u e v. Vamos inverter as definições para ver isso:
a = u+v,\qquad b = u-v.
Essa escolha é útil porque expressa a e b como soma e diferença de dois ângulos simétricos, o que facilita o uso das fórmulas de soma de ângulos.

Passo 3

Agora precisamos de uma fórmula básica de trigonometria: a fórmula de adição para o seno. Ela diz que, para quaisquer ângulos x e y,
\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y, \qquad \sin(x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y.
Explicando por que isso vale (intuição geométrica/algébrica simples): pense no ponto do círculo unitário correspondente ao ângulo x, que tem coordenadas (\cos x,\sin x). Rotacionar esse ponto por um ângulo y é multiplicar pelo operador de rotação, o que leva às fórmulas de adição para as coordenadas. A segunda coordenada após a rotação (que é o seno do ângulo somado) resulta exatamente em \sin x\cos y+\cos x\sin y. A expressão para \sin(x-y) segue do mesmo raciocínio, trocando y por -y e usando \cos(-y)=\cos y, \sin(-y)=-\sin y.

Passo 4

Aplique as fórmulas de soma e diferença de seno aos ângulos a=u+v e b=u-v. Temos
\sin(a)+\sin(b)=\sin(u+v)+\sin(u-v).
Usando as fórmulas do passo anterior:
\sin(u+v)=\sin u\cos v+\cos u\sin v,
\sin(u-v)=\sin u\cos v-\cos u\sin v.
Some as duas expressões:
\sin(u+v)+\sin(u-v)=(\sin u\cos v+\cos u\sin v)+(\sin u\cos v-\cos u\sin v).
Agora simplifique somando termo a termo. Os termos \cos u\sin v se cancelam um com o outro (um é positivo, o outro é negativo), e os termos \sin u\cos v somam-se:
\sin(u+v)+\sin(u-v)=2\sin u\cos v.

Passo 5

Substitua de volta u=\dfrac{a+b}{2} e v=\dfrac{a-b}{2} na expressão obtida:
\sin(a)+\sin(b)=2\sin\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\!\left(\frac{a-b}{2}\right).
Pronto — essa é exatamente a identidade que queríamos demonstrar.

Passo 6

Comentário prático rápido (para você usar na prova): a técnica chave é sempre tentar escrever somas de senos ou cossenos como soma e diferença de ângulos simétricos usando u=(a+b)/2 e v=(a-b)/2. Depois aplicar as fórmulas de adição de ângulos e simplificar. Se quiser, posso mostrar um exemplo numérico para ver a identidade com valores concretos — isso ajuda a fixar.

Resposta

\sin (a)+\sin (b)=2 \sin \left(\frac{a+b}{2}\right) \cos \left(\frac{a-b}{2}\right)

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