Demonstre que podemos escrever a seguinte identidade trigonométrica:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade trigonométrica
Informações dadas:
- As expressões envolvem as funções trigonométricas
e . -
e são ângulos (podem estar em radianos ou graus; a identidade vale em ambos os sistemas desde que seja consistente). - O objetivo é transformar o lado esquerdo
no lado direito mostrado.
Passo 2
Vamos usar uma substituição que simplifica somas e diferenças de ângulos. Defina dois novos ângulos
e
por
A ideia é que, com essa escolha, os ângulos
e
podem ser escritos em função de
e
. Vamos inverter as definições para ver isso:
Essa escolha é útil porque expressa
e
como soma e diferença de dois ângulos simétricos, o que facilita o uso das fórmulas de soma de ângulos.
Passo 3
Agora precisamos de uma fórmula básica de trigonometria: a fórmula de adição para o seno. Ela diz que, para quaisquer ângulos
e
,
Explicando por que isso vale (intuição geométrica/algébrica simples): pense no ponto do círculo unitário correspondente ao ângulo
, que tem coordenadas
. Rotacionar esse ponto por um ângulo
é multiplicar pelo operador de rotação, o que leva às fórmulas de adição para as coordenadas. A segunda coordenada após a rotação (que é o seno do ângulo somado) resulta exatamente em
. A expressão para
segue do mesmo raciocínio, trocando
por
e usando
,
.
Passo 4
Aplique as fórmulas de soma e diferença de seno aos ângulos
e
. Temos
Usando as fórmulas do passo anterior:
Some as duas expressões:
Agora simplifique somando termo a termo. Os termos
se cancelam um com o outro (um é positivo, o outro é negativo), e os termos
somam-se:
Passo 5
Substitua de volta
e
na expressão obtida:
Pronto — essa é exatamente a identidade que queríamos demonstrar.
Passo 6
Comentário prático rápido (para você usar na prova): a técnica chave é sempre tentar escrever somas de senos ou cossenos como soma e diferença de ângulos simétricos usando
e
. Depois aplicar as fórmulas de adição de ângulos e simplificar. Se quiser, posso mostrar um exemplo numérico para ver a identidade com valores concretos — isso ajuda a fixar.