A partir das equações que obtivemos para o valor esperado da energia \langle E\rangle=\frac{\int_{0}^{\infty} \varepsilon P(\varepsilon) d \varepsilon}{\int_{0}^{\infty} P(\varepsilon) d \varepsilon}, mostra que ao realizarmos o cálculo obteremos \langle E\rangle=k T, tomando por base que P(\varepsilon)=\frac{e^{\varepsilon / k T}}{k T}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, com a densidade dada, o valor esperado da energia
\langle E\rangle=\frac{\int_{0}^{\infty} \varepsilon\,P(\varepsilon)\,d\varepsilon}{\int_{0}^{\infty} P(\varepsilon)\,d\varepsilon},
fica igual a kT quando se toma P(\varepsilon)=\dfrac{e^{\varepsilon/kT}}{kT}.
Informações fornecidas:
  • A expressão do valor esperado \langle E\rangle está explícita acima.
  • A função P(\varepsilon) foi dada no enunciado (notei que está com expoente positivo).
    Importante: se P(\varepsilon)=\dfrac{e^{\varepsilon/kT}}{kT} (expoente positivo) as integrais divergem e não há valor esperado finito. Por isso vou assumir que houve um sinal faltando no expoente e que a densidade correta é a forma física usual
P(\varepsilon)=\frac{e^{-\varepsilon/kT}}{kT},
que é normalizável em [0,\infty). Vou usar essa forma para fazer o cálculo detalhado.

Passo 2

Escrevendo explicitamente numerador e denominador com a densidade assumida:
\text{den}=\int_{0}^{\infty} P(\varepsilon)\,d\varepsilon=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-\varepsilon/kT}}{kT}\,d\varepsilon,
\text{num}=\int_{0}^{\infty} \varepsilon\,P(\varepsilon)\,d\varepsilon=\int_{0}^{\infty}\varepsilon\frac{e^{-\varepsilon/kT}}{kT}\,d\varepsilon.
O objetivo é calcular \langle E\rangle=\dfrac{\text{num}}{\text{den}}.

Passo 3

Cálculo do denominador. Faço a mudança de variável
x=\frac{\varepsilon}{kT}\quad\Rightarrow\quad d\varepsilon=kT\,dx.
Substituindo em \text{den}:
\text{den}=\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-\varepsilon/kT}}{kT}\,d\varepsilon =\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-x}}{kT}\,(kT\,dx) =\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx.
Essa é uma integral básica exponencial; calcula-se facilmente:
\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx=\big[-e^{-x}\big]_{0}^{\infty}=0-(-1)=1.
Portanto \text{den}=1. Comentário didático rápido: a mudança de variável substitui \varepsilon por uma variável adimensional x; o fator kT do Jacobiano cancela com o 1/(kT) da densidade, deixando a integral da função exponencial padrão.

Passo 4

Cálculo do numerador. Uso a mesma mudança de variável x=\dfrac{\varepsilon}{kT}, d\varepsilon=kT\,dx. Substituindo:
\text{num}=\int_{0}^{\infty}\varepsilon\frac{e^{-\varepsilon/kT}}{kT}\,d\varepsilon =\int_{0}^{\infty}(kT x)\frac{e^{-x}}{kT}\,(kT\,dx).
Simplificando os fatores kT:
\text{num}=(kT)\int_{0}^{\infty} x e^{-x}\,dx.
Agora preciso calcular a integral \int_{0}^{\infty} x e^{-x}\,dx. Vou fazer por partes (método padrão): tome
u=x,\qquad dv=e^{-x}dx.
Então du=dx e v=-e^{-x}. Pela fórmula de integração por partes,
\int_{0}^{\infty} x e^{-x}\,dx=\big[uv\big]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty} v\,du =\big[-x e^{-x}\big]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx.
Avalio os termos: \lim_{x\to\infty} x e^{-x}=0 (o exponencial domina o crescimento linear) e em x=0 esse produto vale 0. Assim \big[-x e^{-x}\big]_{0}^{\infty}=0-0=0. Já \int_{0}^{\infty} e^{-x}\,dx=1 (visto no passo anterior). Logo
\int_{0}^{\infty} x e^{-x}\,dx=1.
Substituindo de volta em \text{num}:
\text{num}=(kT)\cdot 1 = kT.

Passo 5

Agora coloco num e den na definição de \langle E\rangle:
\langle E\rangle=\frac{\text{num}}{\text{den}}=\frac{kT}{1}=kT.
Breve interpretação física e didática: a distribuição \dfrac{e^{-\varepsilon/kT}}{kT} é uma distribuição exponencial com média kT. Em física estatística essa média aparece quando se considera, por exemplo, a energia de uma variável exponencialmente distribuída (ou a energia média de um grau de liberdade em certos modelos simples), e o cálculo acima é a maneira formal de obter esse resultado.

Resposta

\langle E\rangle = kT

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