A partir das equações que obtivemos para o valor esperado da energia
, mostra que ao realizarmos o cálculo obteremos
, tomando por base que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, com a densidade dada, o valor esperado da energia
fica igual a
quando se toma
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A expressão do valor esperado
está explícita acima. - A função
foi dada no enunciado (notei que está com expoente positivo).
Importante: se(expoente positivo) as integrais divergem e não há valor esperado finito. Por isso vou assumir que houve um sinal faltando no expoente e que a densidade correta é a forma física usual
que é normalizável em
. Vou usar essa forma para fazer o cálculo detalhado.
Passo 2
Escrevendo explicitamente numerador e denominador com a densidade assumida:
O objetivo é calcular
.
Passo 3
Cálculo do denominador. Faço a mudança de variável
Substituindo em
:
Essa é uma integral básica exponencial; calcula-se facilmente:
Portanto
. Comentário didático rápido: a mudança de variável substitui
por uma variável adimensional
; o fator
do Jacobiano cancela com o
da densidade, deixando a integral da função exponencial padrão.
Passo 4
Cálculo do numerador. Uso a mesma mudança de variável
,
. Substituindo:
Simplificando os fatores
:
Agora preciso calcular a integral
. Vou fazer por partes (método padrão): tome
Então
e
. Pela fórmula de integração por partes,
Avalio os termos:
(o exponencial domina o crescimento linear) e em
esse produto vale
. Assim
. Já
(visto no passo anterior). Logo
Substituindo de volta em
:
Passo 5
Agora coloco num e den na definição de
:
Breve interpretação física e didática: a distribuição
é uma distribuição exponencial com média
. Em física estatística essa média aparece quando se considera, por exemplo, a energia de uma variável exponencialmente distribuída (ou a energia média de um grau de liberdade em certos modelos simples), e o cálculo acima é a maneira formal de obter esse resultado.