A partir da equação de Rayleigh-Jeans [4], e utilizando a relação entre v e \lambda, demonstre que podemos obter a equação [5].
\begin{gathered} R_{T}(v) d v=\frac{8 \pi v^{2}}{c^{3}} k T d v \quad \text { e } \quad \lambda \cdot v=c \\\ R_{T}(v) d \lambda=\frac{8 \pi}{\lambda^{4}} k T d \lambda \end{gathered}
Passo 1
O enunciado nos dá duas informações:
A fórmula de Rayleigh–Jeans por unidade de frequência:
R_{T}(v)\,dv=\frac{8\pi v^{2}}{c^{3}}\,kT\,dv.
A relação entre frequência e comprimento de onda:
\lambda\cdot v=c.
O objetivo é mostrar a forma equivalente por unidade de comprimento de onda, ou seja obter
Primeiro conceito importante (intuição física): a energia contida num mesmo intervalo de radiação não depende da variável que usamos para descrevê‑la. Assim, a energia entre v e v+dv é a mesma que a energia entre \lambda e \lambda+d\lambda correspondentes. Portanto vale a igualdade
R_{T}(v)\,dv = R_{T}(\lambda)\,d\lambda.
Aqui R_{T}(v) é a densidade espectral por unidade de frequência (energia por volume por intervalo de frequência) e R_{T}(\lambda) é a densidade espectral por unidade de comprimento de onda (energia por volume por intervalo de comprimento de onda).
Passo 3
Fazemos a mudança de variável explícita. Da relação \lambda v = c segue
v=\frac{c}{\lambda}.
Derivando em relação a \lambda obtemos
\frac{dv}{d\lambda}=-\frac{c}{\lambda^{2}}.
O sinal menos só indica que v diminui quando \lambda aumenta; para relacionar tamanhos de intervalos usamos o valor absoluto do jacobiano. Assim, em módulo,
Observação didática rápida: o uso do valor absoluto de \dfrac{dv}{d\lambda} é obrigatório porque dv e d\lambda têm sinais opostos, mas estamos igualando magnitudes de energia em intervalos; por isso usamos \left|\dfrac{dv}{d\lambda}\right|=\dfrac{c}{\lambda^{2}}.