Utilizando a Lei de Wien \left(\lambda_{\text {pico }}=\frac{b}{T}\right), calcule o comprimento de onda do pico de emissão de um corpo negro a uma temperatura de 5000 K . Compare com o valor obtido para 3000 K . Expresse esta comparação entre os valores como um \frac{\lambda_{5000}}{\lambda_{3000}}.
Agora, faça o mesmo em relação à quantidade de radiação total emitida por estes mesmos corpos, segundo a lei de Stefann ( R_{T}=\sigma T^{4} ). Realize o mesmo tipo de comparação entre os resultados para 3000 e 5000 K .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Usando a Lei de Wien \left(\lambda_{\text{pico}}=\dfrac{b}{T}\right): calcular o comprimento de onda do pico de emissão para T=5000\\ \text{K}, comparar com o valor para T=3000\\ \text{K} e expressar essa comparação como \dfrac{\lambda_{5000}}{\lambda_{3000}}.
  • Usando a Lei de Stefan–Boltzmann \left(R_T=\sigma T^{4}\right): calcular a radiação total emitida (potência por unidade de área) para T=5000\\ \text{K} e T=3000\\ \text{K} e expressar a comparação como \dfrac{R_{5000}}{R_{3000}}.
Informações/dados fornecidos ou padrão que vamos usar:
  • Temperaturas: T_1=5000\\ \text{K} e T_2=3000\\ \text{K} (estes números vieram do enunciado).
  • Constante de Wien (valor padrão): b = 2{,}898\times10^{-3}\\ \text{m}\cdot\text{K}.
  • Constante de Stefan–Boltzmann (valor padrão): \sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4}.

Passo 2

Aula rápida sobre a Lei de Wien e aplicação passo a passo.
O que diz a Lei de Wien:
\lambda_{\text{pico}}=\frac{b}{T},
onde \lambda_{\text{pico}} é o comprimento de onda (em metros) onde a emissão é máxima, b é a constante de deslocamento de Wien (em \text{m}\cdot\text{K}) e T é a temperatura em kelvin.
Cálculo de \lambda_{5000}:
\lambda_{5000}=\frac{b}{5000}=\frac{2{,}898\times10^{-3}}{5000}\\ \text{m}.
Faço a divisão:
\lambda_{5000}=2{,}898\times10^{-3}\times\frac{1}{5000}=2{,}898\times10^{-3}\times2\times10^{-4}=5{,}796\times10^{-7}\\ \text{m}.
Converter para nanómetros ( 1\\ \text{nm}=10^{-9}\\ \text{m}):
\lambda_{5000}=5{,}796\times10^{-7}\\ \text{m}=579{,}6\\ \text{nm}.
Cálculo de \lambda_{3000}:
\lambda_{3000}=\frac{b}{3000}=\frac{2{,}898\times10^{-3}}{3000}=9{,}66\times10^{-7}\\ \text{m}=966{,}0\\ \text{nm}.
Comparação (razão): observe que b cancela ao dividir os comprimentos de onda, então
\frac{\lambda_{5000}}{\lambda_{3000}}=\frac{\dfrac{b}{5000}}{\dfrac{b}{3000}}=\frac{3000}{5000}=\frac{3}{5}=0{,}6.
Interpretação física breve: aumentando a temperatura, o pico desloca-se para comprimentos de onda menores (mais “azul”), e o cálculo mostra que a emissão de pico a 5000\\ \text{K} está a 60\% do comprimento de onda do pico a 3000\\ \text{K}.

Passo 3

Aula rápida sobre a Lei de Stefan–Boltzmann e aplicação passo a passo.
O que diz a Lei de Stefan–Boltzmann:
R_T=\sigma T^{4},
onde R_T é a potência radiada por unidade de área (em \text{W}\cdot\text{m}^{-2}), \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann e T é a temperatura em kelvin.
Cálculo de R_{5000}:
Primeiro calculo 5000^{4}. Uso a notação científica:
5000^{4}=(5{,}0\times10^{3})^{4}=5^{4}\times10^{12}=625\times10^{12}=6{,}25\times10^{14}.
Agora multiplico por \sigma:
R_{5000}=\sigma\cdot5000^{4}=5{,}670374419\times10^{-8}\times6{,}25\times10^{14}.
Multiplicando mantissas e somando expoentes:
R_{5000}= (5{,}670374419\times6{,}25)\times10^{-8+14} =35{,}43984011875\times10^{6} =3{,}543984011875\times10^{7}\\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}.
Arredondando de forma razoável:
R_{5000}\approx3{,}54\times10^{7}\\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}.
Cálculo de R_{3000}:
Calculo 3000^{4}:
3000^{4}=(3{,}0\times10^{3})^{4}=3^{4}\times10^{12}=81\times10^{12}=8{,}1\times10^{13}.
Multiplico por \sigma:
R_{3000}=\sigma\cdot3000^{4}=5{,}670374419\times10^{-8}\times8{,}1\times10^{13}.
Multiplicando:
R_{3000}=(5{,}670374419\times8{,}1)\times10^{-8+13} =45{,}9400317439\times10^{5} =4{,}59400317439\times10^{6}\\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}.
Arredondando:
R_{3000}\approx4{,}59\times10^{6}\\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}.
Comparação (razão): como \sigma cancela,
\frac{R_{5000}}{R_{3000}}=\left(\frac{5000}{3000}\right)^{4}=\left(\frac{5}{3}\right)^{4}=\frac{625}{81}\approx7{,}7160493827.
Interpretação física breve: a potência total sobe muito rapidamente com a temperatura (proporcional a T^{4}); aqui a emissão a 5000\\ \text{K} é cerca de 7{,}72 vezes a emissão a 3000\\ \text{K}.

Passo 4

Resumo didático e dicas para a prova:
  • Para usar Wien: memorize a forma \lambda_{\text{pico}}=b/T e que b\approx2{,}898\times10^{-3}\\ \text{m}\cdot\text{K}. Ao comparar dois comprimentos de onda, b cancela e a razão é a razão inversa das temperaturas.
  • Para usar Stefan–Boltzmann: memorize R_T=\sigma T^{4} e que \sigma\approx5{,}670\times10^{-8}\\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4}. Ao comparar potências, \sigma cancela e a razão é a razão das temperaturas elevada à quarta potência.
  • Nos cálculos, para evitar erro, faça as potências de 10 separadas (como mostrado) e, se pedirem, converta metros para nm multiplicando por 10^{9}.

Resposta

\lambda_{5000}=5{,}796\times10^{-7}\\ \text{m}=579{,}6\\ \text{nm},\qquad \lambda_{3000}=9{,}660\times10^{-7}\\ \text{m}=966{,}0\\ \text{nm},\qquad \dfrac{\lambda_{5000}}{\lambda_{3000}}=0{,}6.
R_{5000}\approx3{,}54\times10^{7}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2},\qquad R_{3000}\approx4{,}59\times10^{6}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2},\qquad \dfrac{R_{5000}}{R_{3000}}=\left(\dfrac{5}{3}\right)^{4}=\dfrac{625}{81}\approx7{,}71604938.

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