a) Determinar pela Lei de Indução de Faraday a expressão para o Campo Magnético a uma distancia
de um fio infinito quando percorrido por uma corrente alternada. (sugestão utilize a lei de Ampère)
b) Obtenha a expressão para o fluxo magnético sobre uma bobina de prova colocada no ponto onde se calculou o campo Magnético.
c) Determine a expressão da f.e.m induzida
, numa bobina de N voltas, de área S , a uma distância r , de um fio infinito reto e longo percorrido por uma corrente
.
d) Explique como determinar experimentalmente a área efetiva (NS) da bobina.
e) Explique como avaliar o valor efetivo do Campo Magnético no ponto em estudo.
b) Obtenha a expressão para o fluxo magnético sobre uma bobina de prova colocada no ponto onde se calculou o campo Magnético.
c) Determine a expressão da f.e.m induzida
d) Explique como determinar experimentalmente a área efetiva (NS) da bobina.
e) Explique como avaliar o valor efetivo do Campo Magnético no ponto em estudo.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado pede e as hipóteses que vou usar (isto é importante para não me perder depois).
-
O enunciado pede:
a) Determinar o campo magnético a uma distânciade um fio infinito percorrido por corrente alternada .
b) Obter a expressão para o fluxo magnético sobre uma bobina de prova colocada no ponto onde se calcula o campo.
c) Determinar a f.e.m. induzidanuma bobina de voltas, área , a distância , quando .
d) Explicar como determinar experimentalmente a área efetivada bobina.
e) Explicar como avaliar experimentalmente o valor efetivo do campo magnético no ponto em estudo. -
Informações e hipóteses que vou assumir (enunciado não especificou detalhes da orientação da bobina nem do meio):
- O fio é idealmente infinito e retilíneo.
- O meio é o vácuo (ou material não magnético) com permeabilidade
. - Trabalho na aproximação quasiestática (frequências não tão altas; distância
pequena frente ao comprimento de onda ) — aí posso usar a Lei de Ampère usual sem o termo de deslocamento; vou explicitar quando isso é relevante. - A bobina de prova é pequena em relação à escala do campo, de modo que o campo na sua área possa ser tomado aproximadamente constante (ou então farei a expressão integral geral).
- Para máxima captação, assumirei que o eixo (vetor área) da bobina está alinhado com a direção do campo magnético local (vou explicar a orientação certa).
Passo 2
Relembrando e ensinando a Lei de Ampère (a ferramenta para achar
) de forma didática.
- O que diz a Lei de Ampère (forma integral, sem termo de Maxwell): para um laço fixo qualquer,
onde
é o campo magnético,
é um elemento infinitesimal do contorno
,
é a permeabilidade do vácuo, e
é a corrente elétrica atravessando a superfície limitada por
.
-
Intuição: a circulação de
em torno de um caminho fechado é proporcional à corrente que esse caminho envolve. Para simetria de um fio reto infinito, escolhemos uma circunferência de raio centrada no fio. -
Simetria do problema: em torno de um fio retilíneo infinito a corrente cria um campo
de sentidos circulares (linhas de campo são círculos concêntricos com o fio). Assim tem módulo dependente apenas de e direção azimutal (denotada por ).
Passo 3
Aplicando Ampère ao fio infinito para obter
.
- Escolho a curva
como uma circunferência de raio centrada no fio. Então é tangente em cada ponto e de módulo constante sobre essa circunferência. Logo
-
A corrente encerrada é simplesmente a corrente no fio naquele instante:
. -
Substituindo na Lei de Ampère:
- Isolando
:
-
Direção:
, onde é o versor azimutal (circulando em torno do fio conforme a regra da mão direita). -
Observação didática sobre quasiestática: esta dedução usa a Lei de Ampère sem o termo de deslocamento
. Isso é válido quando dimensões do sistema são muito menores que (ou quando se trabalha em frequências baixas), de modo que efeitos de radiação e campos retardados podem ser desprezados. Se for muito grande, seria necessário usar as equações completas de Maxwell e considerar ondas eletromagnéticas e retardo.
Passo 4
Interpretação prática e condições: quais suposições foram feitas e quando elas falham.
- Suponho fio ideal, corrente concentrada em uma linha. Para fio com raio finito muito menor que
, a expressão vale bem fora do fio. - Suponho meio homogêneo com permeabilidade
. Se houver material magnético com permeabilidade , trocar por . - Suponho aproximação quasiestática: válida se
(comprimento de onda associado à frequência ). Caso contrário, surgem correções de fase e amplitude do tipo radiativo.
Passo 5
Passando ao item (b): definir fluxo magnético e escolher orientação da bobina.
- Definição de fluxo magnético: para uma superfície
com vetor área local (magnitude , direção normal), o fluxo magnético é
- Para uma bobina de prova pequena localizada a distância
do fio, se a bobina for suficientemente pequena, posso aproximar como praticamente uniforme sobre a sua área e valer o valor no ponto central. Além disso, para obter fluxo máximo a bobina deve ter seu vetor área alinhado com . Lembre: é azimutal , portanto a bobina deve ter seu plano radial-axial (o normal no sentido ) para captar o máximo.
Passo 6
Cálculo do fluxo magnético (item b) na aproximação de bobina pequena.
- Supondo bobina de área
com vetor área (alinhado com ), e campo aproximadamente constante sobre com valor , o fluxo através de uma volta é
- Se a bobina tiver
voltas, fluxo total ligado às voltas (somando voltas em série) é
- Substituindo
da Parte (a):
- Observação: se a bobina não estiver com o eixo perfeitamente alinhado, incluir fator de ângulo
onde é o ângulo entre e , isto é,
Mas vou usar
para máxima captação, a menos que o enunciado peça outra orientação.
Passo 7
Item (c): aplicar a Lei de Faraday para obter a f.e.m. induzida
.
- Lei de Faraday (integral/diferencial na forma mais simples para uma bobina): a f.e.m. induzida numa bobina de
voltas é
onde
é o fluxo magnético por todas as voltas (soma das voltas).
- Substituindo a expressão do passo anterior:
Logo
- Como
são constantes no tempo:
Passo 8
Especializando para
(continuação do item c) e simplificando.
- Derivando
:
- Substituindo em
:
- Podemos escrever em amplitude/fase:
- Amplitude (valor pico) da
:
- Forma alternativa usando seno com deslocamento de fase:
- Amplitude (valor pico) da
- Importante: o sinal menos da Lei de Faraday está relacionado à direção da corrente induzida (Lei de Lenz): a f.e.m. induzida age para se opor à variação do fluxo que a originou.
Passo 9
Comentários sobre limitações, correções e integração exata para bobinas maiores.
- Se a bobina não for pequena ou tiver dimensões comparáveis a
, o campo varia sobre e é preciso calcular integral:
onde
e
é a distância local de cada elemento de área ao fio. Isso leva a uma integral logarítmica se a bobina for um anel ou retângulo; posso detalhar se precisar do caso geométrico específico. Na prática, para bobinas pequenas a aproximação constante é usual.
- Se a frequência for alta (comparável a
), é necessário usar equações de Maxwell completas; a expressão acima é a solução quasiestática e é suficiente em muitos experimentos de laboratório.
Passo 10
Item (d): como determinar experimentalmente a área efetiva
da bobina — procedimento prático didático.
- Ideia: calibrar a bobina com um campo magnético conhecido e variável (por exemplo: usar um solenoide longo conhecido ou um par de bobinas de Helmholtz, cuja
é bem conhecida em função da corrente aplicada). Procedimento passo a passo: - Colocar a bobina de prova no centro do dispositivo gerador de campo (onde o campo é bem conhecido e uniforme) e alinhá-la para que seu vetor área aponte na mesma direção do campo.
- Aplicar uma corrente senoidal controlada
na bobina geradora (solenoide/Helmholtz). Isso gera um campo senoidal conhecido . Para um solenoide longo, por exemplo,
onde é o número de espiras por unidade de comprimento; para Helmholtz, existe fórmula conhecida também.
3. Medir a f.e.m. induzidana bobina de prova (usar osciloscópio ou um voltímetro que capture amplitude).
4. Como pela Lei de Faraday (para campo uniforme) valeisolo : - Pode-se usar valores RMS também:
- Observações práticas: alinhar bem a bobina, subtrair ruídos de fundo, medir amplitude com instrumento de boa precisão (ou usar lock-in para maior relação sinal/ruído). Repetir para várias frequências para checar linearidade e garantir que está na região quasiestática.
Passo 11
Item (e): como avaliar experimentalmente o campo magnético efetivo no ponto usando a bobina de prova (procedimento prático).
- Se a bobina já foi calibrada (conhece-se
), então para uma corrente senoidal no fio que gera um campo senoidal em amplitude , medindo a f.e.m. induzida pode-se obter diretamente: - Medir
na bobina de prova quando o fio conduz . - Pela relação (para campo aproximadamente uniforme sobre a bobina)
isolar - Usando valores RMS:
- Medir
- Procedimento experimental detalhado:
- Alinhar a bobina de prova de modo que seu eixo seja paralelo a
local (no fio reto, é azimutal; a bobina deve ter seu plano radial-axial para captar campo). - Fazer a medição da f.e.m. com instrumentos (osciloscópio ou lock-in), registrar amplitude e fase relativa à corrente no fio para confirmar sinal proporcional a
. - Calcular
usando a fórmula acima. Comparar com o valor teórico para validar o experimento.
- Alinhar a bobina de prova de modo que seu eixo seja paralelo a
- Observações práticas:
- Verificar se existe campo de fundo (campo terrestre); subtrair antes de estimar.
- Em frequências muito altas, a fase entre
e pode mostrar efeitos de retardo (não puramente ); aí a fórmula simples pode precisar de correções.
Resposta
a)
.
b)
\quad (para vetor área da bobina alinhado com
; caso haja ângulo usar
).
c)
. Para
:
,
com amplitude .
com amplitude
d) Determinar experimentalmente
: calibrar a bobina com um campo conhecido e variável (ex.: solenoide ou bobinas de Helmholtz); medir
quando o campo
é senoidal; então
(ou versão RMS). Alinhar a bobina e usar lock-in/osciloscópio para reduzir ruído.
e) Avaliar o campo magnético no ponto: se
conhecido, medir
induzida pela corrente do fio e obter
(or ). Comparar com o valor teórico
para validação.
(or