a) Determinar pela Lei de Indução de Faraday a expressão para o Campo Magnético a uma distancia \mathbf{r} de um fio infinito quando percorrido por uma corrente alternada. (sugestão utilize a lei de Ampère)
b) Obtenha a expressão para o fluxo magnético sobre uma bobina de prova colocada no ponto onde se calculou o campo Magnético.
c) Determine a expressão da f.e.m induzida \varepsilon, numa bobina de N voltas, de área S , a uma distância r , de um fio infinito reto e longo percorrido por uma corrente \mathrm{I}(\mathrm{t})= \mathrm{I}_{0} \cdot \operatorname{sen}(\omega \mathrm{t}).
d) Explique como determinar experimentalmente a área efetiva (NS) da bobina.
e) Explique como avaliar o valor efetivo do Campo Magnético no ponto em estudo.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado pede e as hipóteses que vou usar (isto é importante para não me perder depois).
  • O enunciado pede:
    a) Determinar o campo magnético a uma distância \,r\, de um fio infinito percorrido por corrente alternada \,I(t).
    b) Obter a expressão para o fluxo magnético sobre uma bobina de prova colocada no ponto onde se calcula o campo.
    c) Determinar a f.e.m. induzida \varepsilon numa bobina de N voltas, área S, a distância r, quando \;I(t)=I_0\sin(\omega t).
    d) Explicar como determinar experimentalmente a área efetiva \,N S\, da bobina.
    e) Explicar como avaliar experimentalmente o valor efetivo do campo magnético no ponto em estudo.
  • Informações e hipóteses que vou assumir (enunciado não especificou detalhes da orientação da bobina nem do meio):
    • O fio é idealmente infinito e retilíneo.
    • O meio é o vácuo (ou material não magnético) com permeabilidade \,\mu_0\,.
    • Trabalho na aproximação quasiestática (frequências não tão altas; distância \,r\, pequena frente ao comprimento de onda \lambda = 2\pi c/\omega) — aí posso usar a Lei de Ampère usual sem o termo de deslocamento; vou explicitar quando isso é relevante.
    • A bobina de prova é pequena em relação à escala do campo, de modo que o campo na sua área possa ser tomado aproximadamente constante (ou então farei a expressão integral geral).
    • Para máxima captação, assumirei que o eixo (vetor área) da bobina está alinhado com a direção do campo magnético local (vou explicar a orientação certa).

Passo 2

Relembrando e ensinando a Lei de Ampère (a ferramenta para achar \,B(r)) de forma didática.
  • O que diz a Lei de Ampère (forma integral, sem termo de Maxwell): para um laço fixo qualquer,
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} = \mu_0 I_{\text{enc}},
onde \mathbf{B} é o campo magnético, d\mathbf{\ell} é um elemento infinitesimal do contorno \mathcal{C}, \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, e I_{\text{enc}} é a corrente elétrica atravessando a superfície limitada por \mathcal{C}.
  • Intuição: a circulação de \mathbf{B} em torno de um caminho fechado é proporcional à corrente que esse caminho envolve. Para simetria de um fio reto infinito, escolhemos \mathcal{C} uma circunferência de raio \,r\, centrada no fio.
  • Simetria do problema: em torno de um fio retilíneo infinito a corrente cria um campo \mathbf{B} de sentidos circulares (linhas de campo são círculos concêntricos com o fio). Assim \mathbf{B} tem módulo dependente apenas de \,r\, e direção azimutal (denotada por \hat{\boldsymbol{\varphi}}).

Passo 3

Aplicando Ampère ao fio infinito para obter \,B(r,t).
  • Escolho a curva \mathcal{C} como uma circunferência de raio \,r\, centrada no fio. Então \mathbf{B} é tangente em cada ponto e de módulo constante sobre essa circunferência. Logo
\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell} = B(r,t)\cdot (2\pi r).
  • A corrente encerrada é simplesmente a corrente no fio naquele instante: I_{\text{enc}}=I(t).
  • Substituindo na Lei de Ampère:
B(r,t)\,2\pi r = \mu_0 I(t).
  • Isolando B(r,t):
B(r,t) = \frac{\mu_0}{2\pi}\,\frac{I(t)}{r}.
  • Direção: \mathbf{B}(r,t) = B(r,t)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}, onde \hat{\boldsymbol{\varphi}} é o versor azimutal (circulando em torno do fio conforme a regra da mão direita).
  • Observação didática sobre quasiestática: esta dedução usa a Lei de Ampère sem o termo de deslocamento \epsilon_0 \partial\Phi_E/\partial t. Isso é válido quando dimensões do sistema são muito menores que \lambda (ou quando se trabalha em frequências baixas), de modo que efeitos de radiação e campos retardados podem ser desprezados. Se \omega for muito grande, seria necessário usar as equações completas de Maxwell e considerar ondas eletromagnéticas e retardo.

Passo 4

Interpretação prática e condições: quais suposições foram feitas e quando elas falham.
  • Suponho fio ideal, corrente concentrada em uma linha. Para fio com raio finito muito menor que r, a expressão vale bem fora do fio.
  • Suponho meio homogêneo com permeabilidade \mu_0. Se houver material magnético com permeabilidade \mu, trocar \mu_0 por \mu.
  • Suponho aproximação quasiestática: válida se r \ll \lambda (comprimento de onda associado à frequência \omega). Caso contrário, surgem correções de fase e amplitude do tipo radiativo.

Passo 5

Passando ao item (b): definir fluxo magnético e escolher orientação da bobina.
  • Definição de fluxo magnético: para uma superfície S com vetor área local d\mathbf{A} (magnitude dA, direção normal), o fluxo magnético é
\Phi(t) = \int_{S} \mathbf{B}(\mathbf{r}',t)\cdot d\mathbf{A}.
  • Para uma bobina de prova pequena localizada a distância \,r\, do fio, se a bobina for suficientemente pequena, posso aproximar \mathbf{B} como praticamente uniforme sobre a sua área e valer o valor no ponto central. Além disso, para obter fluxo máximo a bobina deve ter seu vetor área \mathbf{\hat{n}} alinhado com \mathbf{B}. Lembre: \mathbf{B} é azimutal \hat{\boldsymbol{\varphi}}, portanto a bobina deve ter seu plano radial-axial (o normal no sentido \hat{\boldsymbol{\varphi}}) para captar o máximo.

Passo 6

Cálculo do fluxo magnético (item b) na aproximação de bobina pequena.
  • Supondo bobina de área S com vetor área \mathbf{\hat{n}}=\hat{\boldsymbol{\varphi}} (alinhado com \mathbf{B}), e campo aproximadamente constante sobre S com valor B(r,t), o fluxo através de uma volta é
\Phi_1(t) = B(r,t)\,S.
  • Se a bobina tiver N voltas, fluxo total ligado às voltas (somando voltas em série) é
\Phi(t) = N\,\Phi_1(t) = N\,S\,B(r,t).
  • Substituindo B(r,t) da Parte (a):
\Phi(t) = N S \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I(t)}{r}.
  • Observação: se a bobina não estiver com o eixo perfeitamente alinhado, incluir fator de ângulo \cos\theta onde \theta é o ângulo entre \hat{\boldsymbol{\varphi}} e \mathbf{\hat{n}}, isto é,
\Phi(t) = N S B(r,t)\cos\theta.
Mas vou usar \cos\theta=1 para máxima captação, a menos que o enunciado peça outra orientação.

Passo 7

Item (c): aplicar a Lei de Faraday para obter a f.e.m. induzida \varepsilon(t).
  • Lei de Faraday (integral/diferencial na forma mais simples para uma bobina): a f.e.m. induzida numa bobina de N voltas é
\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi(t)}{dt},
onde \Phi(t) é o fluxo magnético por todas as voltas (soma das voltas).
  • Substituindo a expressão do passo anterior:
\Phi(t) = N S \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I(t)}{r}.
Logo
\varepsilon(t) = -\frac{d}{dt}\left(N S \frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I(t)}{r}\right).
  • Como N,S,\mu_0,r são constantes no tempo:
\varepsilon(t) = -N S \frac{\mu_0}{2\pi r}\,\frac{dI(t)}{dt}.

Passo 8

Especializando para I(t)=I_0\sin(\omega t) (continuação do item c) e simplificando.
  • Derivando I(t):
\frac{dI(t)}{dt} = I_0 \omega \cos(\omega t).
  • Substituindo em \varepsilon(t):
\varepsilon(t) = -N S \frac{\mu_0}{2\pi r}\,I_0 \omega \cos(\omega t).
  • Podemos escrever em amplitude/fase:
    • Amplitude (valor pico) da \varepsilon:
    \varepsilon_{\text{peak}} = N S \frac{\mu_0}{2\pi r}\,I_0 \omega.
    • Forma alternativa usando seno com deslocamento de fase:
    \varepsilon(t) = -\varepsilon_{\text{peak}}\cos(\omega t) = \varepsilon_{\text{peak}}\sin\!\big(\omega t - \tfrac{\pi}{2}\big).
  • Importante: o sinal menos da Lei de Faraday está relacionado à direção da corrente induzida (Lei de Lenz): a f.e.m. induzida age para se opor à variação do fluxo que a originou.

Passo 9

Comentários sobre limitações, correções e integração exata para bobinas maiores.
  • Se a bobina não for pequena ou tiver dimensões comparáveis a r, o campo \mathbf{B} varia sobre S e é preciso calcular integral:
\Phi_1(t)=\int_{S} B(\rho,t)\, dA(\rho)
onde B(\rho,t)=\dfrac{\mu_0}{2\pi}\dfrac{I(t)}{\rho} e \rho é a distância local de cada elemento de área ao fio. Isso leva a uma integral logarítmica se a bobina for um anel ou retângulo; posso detalhar se precisar do caso geométrico específico. Na prática, para bobinas pequenas a aproximação constante é usual.
  • Se a frequência for alta (comparável a \frac{c}{r}), é necessário usar equações de Maxwell completas; a expressão acima é a solução quasiestática e é suficiente em muitos experimentos de laboratório.

Passo 10

Item (d): como determinar experimentalmente a área efetiva N S da bobina — procedimento prático didático.
  • Ideia: calibrar a bobina com um campo magnético conhecido e variável (por exemplo: usar um solenoide longo conhecido ou um par de bobinas de Helmholtz, cuja B é bem conhecida em função da corrente aplicada). Procedimento passo a passo:
    1. Colocar a bobina de prova no centro do dispositivo gerador de campo (onde o campo é bem conhecido e uniforme) e alinhá-la para que seu vetor área aponte na mesma direção do campo.
    2. Aplicar uma corrente senoidal controlada I_{\text{cal}}(t)=I_{\text{cal},0}\sin(\omega t) na bobina geradora (solenoide/Helmholtz). Isso gera um campo senoidal conhecido B_{\text{cal}}(t)=B_{\text{cal},0}\sin(\omega t). Para um solenoide longo, por exemplo,
    B_{\text{cal},0} = \mu_0 n I_{\text{cal},0},onde n é o número de espiras por unidade de comprimento; para Helmholtz, existe fórmula conhecida também.
    3. Medir a f.e.m. induzida \varepsilon_{\text{meas}}(t) na bobina de prova (usar osciloscópio ou um voltímetro que capture amplitude).
    4. Como pela Lei de Faraday (para campo uniforme) vale \varepsilon_{\text{peak}} = N S \omega B_{\text{cal},0},isolo N S: N S = \frac{\varepsilon_{\text{peak}}}{\omega B_{\text{cal},0}}.
    1. Pode-se usar valores RMS também:
    N S = \frac{\varepsilon_{\text{rms}}}{\omega B_{\text{rms}}}.
  • Observações práticas: alinhar bem a bobina, subtrair ruídos de fundo, medir amplitude com instrumento de boa precisão (ou usar lock-in para maior relação sinal/ruído). Repetir para várias frequências para checar linearidade e garantir que está na região quasiestática.

Passo 11

Item (e): como avaliar experimentalmente o campo magnético efetivo no ponto usando a bobina de prova (procedimento prático).
  • Se a bobina já foi calibrada (conhece-se N S), então para uma corrente senoidal no fio que gera um campo senoidal em amplitude B_0, medindo a f.e.m. induzida pode-se obter B_0 diretamente:
    • Medir \varepsilon_{\text{peak}} na bobina de prova quando o fio conduz I(t)=I_0\sin(\omega t).
    • Pela relação (para campo aproximadamente uniforme sobre a bobina)
    \varepsilon_{\text{peak}} = N S \omega B_0,isolar B_0 = \frac{\varepsilon_{\text{peak}}}{N S \omega}.
    • Usando valores RMS:
    B_{\text{rms}} = \frac{\varepsilon_{\text{rms}}}{N S \omega}.
  • Procedimento experimental detalhado:
    1. Alinhar a bobina de prova de modo que seu eixo seja paralelo a \mathbf{B} local (no fio reto, \mathbf{B} é azimutal; a bobina deve ter seu plano radial-axial para captar campo).
    2. Fazer a medição da f.e.m. com instrumentos (osciloscópio ou lock-in), registrar amplitude e fase relativa à corrente no fio para confirmar sinal proporcional a \omega.
    3. Calcular B_0 usando a fórmula acima. Comparar com o valor teórico \dfrac{\mu_0}{2\pi}\dfrac{I_0}{r} para validar o experimento.
  • Observações práticas:
    • Verificar se existe campo de fundo (campo terrestre); subtrair antes de estimar.
    • Em frequências muito altas, a fase entre \varepsilon e I pode mostrar efeitos de retardo (não puramente -\pi/2); aí a fórmula simples pode precisar de correções.

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{B}(r,t)=\frac{\mu_0}{2\pi}\,\frac{I(t)}{r}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
b) \displaystyle \Phi(t)=N S\,B(r,t)=N S\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I(t)}{r} \quad (para vetor área da bobina alinhado com \mathbf{B}; caso haja ângulo usar \cos\theta).
c) \displaystyle \varepsilon(t)=-N S\frac{\mu_0}{2\pi r}\,\frac{dI(t)}{dt}. Para I(t)=I_0\sin(\omega t):
\displaystyle \varepsilon(t)=-N S\frac{\mu_0}{2\pi r}\,I_0\omega\cos(\omega t),
com amplitude \displaystyle \varepsilon_{\text{peak}}=N S\frac{\mu_0}{2\pi r}\,I_0\omega.
d) Determinar experimentalmente N S: calibrar a bobina com um campo conhecido e variável (ex.: solenoide ou bobinas de Helmholtz); medir \varepsilon_{\text{peak}} quando o campo B_{\text{cal}}(t) é senoidal; então
\displaystyle N S=\dfrac{\varepsilon_{\text{peak}}}{\omega B_{\text{cal},0}} (ou versão RMS). Alinhar a bobina e usar lock-in/osciloscópio para reduzir ruído.
e) Avaliar o campo magnético no ponto: se N S conhecido, medir \varepsilon_{\text{peak}} induzida pela corrente do fio e obter
\displaystyle B_0=\dfrac{\varepsilon_{\text{peak}}}{N S \omega}
(or \displaystyle B_{\text{rms}}=\dfrac{\varepsilon_{\text{rms}}}{N S \omega}). Comparar com o valor teórico \displaystyle B_0=\dfrac{\mu_0}{2\pi}\dfrac{I_0}{r} para validação.

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