Demostre que o potencial vetorial magnético para dois fios compridos, retos e paralelos, que conduzem à mesma corrente,
, em sentidos opostos é dado por:
Onde
e
são as distancias do ponto do campo até os fios e
é um versor paralelo aos fios.
Passo 1
O problema dá dois fios infinitos, retos e paralelos que carregam correntes de mesma magnitude
em sentidos opostos. Define-se:
-
e como as distâncias do ponto (onde se quer calcular o potencial vetor) até cada um dos fios, medidas no plano perpendicular aos fios; -
como um versor paralelo aos fios (ou seja, direção dos fios; por exemplo );
A tarefa é demonstrar que o potencial vetorial magnético no pontopode ser escrito como
Passo 2
Relembrando conceitos fundamentais (com calma e sem pressa):
- O potencial vetorial
e o campo magnético estão relacionados por
- Para correntes estacionárias a escolha de gauge permite adicionar um gradiente de escalar a
sem alterar . Portanto existe liberdade aditiva em (uma constante multiplicada por no nosso caso). - Simetria do problema: os fios são infinitos na direção de
e o arranjo é invariante por translação ao longo dessa direção. Isso sugere que podemos procurar uma solução com paralela aos fios e que dependa apenas das coordenadas transversais (ou seja, das distâncias ao longo do plano perpendicular). Assim tentaremos uma do tipo
onde
é função das coordenadas no plano transversal.
Passo 3
Primeiro calculemos o caso simples: um fio único, reto, colocá-lo na origem do plano transversal e com corrente
na direção
. Pela simetria,
depende só da distância radial
ao fio, isto é
, e
.
Vamos calcular
para um vetor da forma
. Para simplificar a notação e a visualização tomo
(mesma coisa para qualquer outra direção paralela aos fios). Em coordenadas cartesianas, com
, tem-se
As componentes do rotacional são
Como
depende apenas de
, aplicamos a regra da cadeia:
onde
. Portanto
onde
é o versor azimutal no plano transversal (note que
). Em resumo:
Passo 4
O campo magnético de um fio infinito com corrente
é conhecido (Lei de Ampère / Biot–Savart):
Igualando
e usando o resultado do passo anterior,
Assim obtemos a equação para
:
Integrando em
,
onde
é constante de integração (dependente do gauge). Logo, para um fio único (corrente
na direção
) podemos escolher
(qualquer constante multiplicada por
não afeta
, pois o rotacional de uma constante é zero.)
Observação de didática: o sinal do log vem da integração de
. A constante
é a manifestação da liberdade de gauge; para um fio isolado
diverge para
, então fisicamente apenas diferenças de
fazem sentido no contexto de dois fios.
Passo 5
Agora vamos ao sistema com dois fios. Denotemos:
- fio 1 em uma posição fixa no plano transversal, com corrente
na direção e distância radial ao ponto igual a ; - fio 2 em outra posição, com corrente
(oposta) e distância ao ponto igual a .
Pela linearidade do campo magnético e do operador
, o potencial vetorial total é a soma das contribuições de cada fio (superposição). Usando a expressão do passo anterior para cada fio (escolhendo a mesma orientação de
e incorporando os sinais das correntes), temos:
- contribuição do fio 1 (corrente
):
- contribuição do fio 2 (corrente
):
Somando,
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos
onde
é uma constante (liberdade de gauge). Escolhendo a gauge conveniente (por exemplo impondo
), fica
Passo 6
Verificação rápida (checar se a solução gera o campo magnético correto): tomar
da forma obtida e calcular
. Cada termo
produz, pelo passo 4, um campo
que é exatamente a contribuição de Biot–Savart de cada fio. Como as correntes têm sinais opostos, o somatório produz o campo
adequado (a soma vetorial das circulações ao redor de cada fio). Assim a
encontrada é consistente com
físico.
Comentário físico e sobre gauge: o log de cada fio individualmente diverge quando
, mas a diferença
é finita e bem definida. A constante
pode ser escolhida arbitrariamente (é gauge); a forma apresentada corresponde a uma escolha conveniente de gauge onde a constante foi posta zero.