Demostre que o potencial vetorial magnético para dois fios compridos, retos e paralelos, que conduzem à mesma corrente, i, em sentidos opostos é dado por:
\vec{A}(\vec{r})=\frac{\mu_{o} i}{2 \pi} \ln \left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right) \hat{n}
Onde r_{1} e r_{2} são as distancias do ponto do campo até os fios e \hat{n} é um versor paralelo aos fios.

Passo 1

O problema dá dois fios infinitos, retos e paralelos que carregam correntes de mesma magnitude i em sentidos opostos. Define-se:
  • r_{1} e r_{2} como as distâncias do ponto \vec r (onde se quer calcular o potencial vetor) até cada um dos fios, medidas no plano perpendicular aos fios;
  • \hat{n} como um versor paralelo aos fios (ou seja, direção dos fios; por exemplo \hat{z});
    A tarefa é demonstrar que o potencial vetorial magnético no ponto \vec r pode ser escrito como
\vec{A}(\vec{r})=\frac{\mu_{0} i}{2 \pi} \ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)\hat{n}.

Passo 2

Relembrando conceitos fundamentais (com calma e sem pressa):
  • O potencial vetorial \vec A e o campo magnético \vec B estão relacionados por
\vec{B}=\nabla\times\vec{A}.
  • Para correntes estacionárias a escolha de gauge permite adicionar um gradiente de escalar a \vec A sem alterar \vec B. Portanto existe liberdade aditiva em \vec A (uma constante multiplicada por \hat n no nosso caso).
  • Simetria do problema: os fios são infinitos na direção de \hat n e o arranjo é invariante por translação ao longo dessa direção. Isso sugere que podemos procurar uma solução com \vec A paralela aos fios e que dependa apenas das coordenadas transversais (ou seja, das distâncias r ao longo do plano perpendicular). Assim tentaremos uma \vec A do tipo
\vec{A}=A_{n}(x,y)\,\hat{n},
onde A_{n} é função das coordenadas no plano transversal.

Passo 3

Primeiro calculemos o caso simples: um fio único, reto, colocá-lo na origem do plano transversal e com corrente I na direção \hat{n}. Pela simetria, A_{n} depende só da distância radial r ao fio, isto é A_{n}=A_{n}(r), e \vec A=A_{n}(r)\hat{n}.
Vamos calcular \nabla\times\vec A para um vetor da forma A_{n}(r)\hat{n}. Para simplificar a notação e a visualização tomo \hat n=\hat z (mesma coisa para qualquer outra direção paralela aos fios). Em coordenadas cartesianas, com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, tem-se
\vec{A}=A_{z}(r)\,\hat z.
As componentes do rotacional são
(\nabla\times\vec A)_{x}=\frac{\partial A_{z}}{\partial y},\qquad (\nabla\times\vec A)_{y}=-\frac{\partial A_{z}}{\partial x},\qquad (\nabla\times\vec A)_{z}=0.
Como A_{z} depende apenas de r, aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial A_{z}}{\partial x}=A_{z}'(r)\frac{x}{r},\qquad \frac{\partial A_{z}}{\partial y}=A_{z}'(r)\frac{y}{r},
onde A_{z}'(r)=\dfrac{dA_{z}}{dr}. Portanto
\nabla\times\vec A = A_{z}'(r)\frac{y}{r}\,\hat x - A_{z}'(r)\frac{x}{r}\,\hat y = -A_{z}'(r)\,\hat\varphi,
onde \hat\varphi é o versor azimutal no plano transversal (note que y\hat x - x\hat y = -r\hat\varphi). Em resumo:
\nabla\times\big(A_{z}(r)\hat z\big) = -A_{z}'(r)\,\hat\varphi.

Passo 4

O campo magnético de um fio infinito com corrente I é conhecido (Lei de Ampère / Biot–Savart):
\vec{B}=\frac{\mu_{0} I}{2\pi r}\,\hat\varphi.
Igualando \vec B=\nabla\times\vec A e usando o resultado do passo anterior,
-A_{z}'(r)\,\hat\varphi = \frac{\mu_{0} I}{2\pi r}\,\hat\varphi.
Assim obtemos a equação para A_{z}(r):
A_{z}'(r) = -\frac{\mu_{0} I}{2\pi r}.
Integrando em r,
A_{z}(r) = -\frac{\mu_{0} I}{2\pi}\ln r + C,
onde C é constante de integração (dependente do gauge). Logo, para um fio único (corrente I na direção \hat n) podemos escolher
\vec{A}_{\text{fio}}(r)= -\frac{\mu_{0} I}{2\pi}\ln r\;\hat n \;+\; C\,\hat n.
(qualquer constante multiplicada por \hat n não afeta \nabla\times\vec A, pois o rotacional de uma constante é zero.)
Observação de didática: o sinal do log vem da integração de -1/r. A constante C é a manifestação da liberdade de gauge; para um fio isolado \ln r diverge para r\to\infty, então fisicamente apenas diferenças de \vec A fazem sentido no contexto de dois fios.

Passo 5

Agora vamos ao sistema com dois fios. Denotemos:
  • fio 1 em uma posição fixa no plano transversal, com corrente +i na direção \hat n e distância radial ao ponto \vec r igual a r_{1};
  • fio 2 em outra posição, com corrente -i (oposta) e distância ao ponto \vec r igual a r_{2}.
Pela linearidade do campo magnético e do operador \nabla\times, o potencial vetorial total é a soma das contribuições de cada fio (superposição). Usando a expressão do passo anterior para cada fio (escolhendo a mesma orientação de \hat n e incorporando os sinais das correntes), temos:
  • contribuição do fio 1 (corrente +i):
\vec A_{1} = -\frac{\mu_{0} i}{2\pi}\ln r_{1}\,\hat n + C_{1}\,\hat n.
  • contribuição do fio 2 (corrente -i):
\vec A_{2} = -\frac{\mu_{0}(-i)}{2\pi}\ln r_{2}\,\hat n + C_{2}\,\hat n = +\frac{\mu_{0} i}{2\pi}\ln r_{2}\,\hat n + C_{2}\,\hat n.
Somando,
\vec A(\vec r)=\vec A_{1}+\vec A_{2} = \frac{\mu_{0} i}{2\pi}\big(\ln r_{2}-\ln r_{1}\big)\,\hat n + (C_{1}+C_{2})\,\hat n.
Usando a propriedade dos logaritmos \ln r_{2}-\ln r_{1}=\ln\!\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right), obtemos
\vec A(\vec r)=\frac{\mu_{0} i}{2\pi}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)\hat n + C\,\hat n,
onde C=C_{1}+C_{2} é uma constante (liberdade de gauge). Escolhendo a gauge conveniente (por exemplo impondo C=0), fica
\vec A(\vec r)=\frac{\mu_{0} i}{2\pi}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)\hat n.

Passo 6

Verificação rápida (checar se a solução gera o campo magnético correto): tomar \vec A da forma obtida e calcular \nabla\times\vec A. Cada termo \ln r_{j} produz, pelo passo 4, um campo -A'_{z}(r_{j})\hat\phi_{j} que é exatamente a contribuição de Biot–Savart de cada fio. Como as correntes têm sinais opostos, o somatório produz o campo \vec B adequado (a soma vetorial das circulações ao redor de cada fio). Assim a \vec A encontrada é consistente com \vec B físico.
Comentário físico e sobre gauge: o log de cada fio individualmente diverge quando r\to\infty, mas a diferença \ln(r_{2}/r_{1}) é finita e bem definida. A constante C pode ser escolhida arbitrariamente (é gauge); a forma apresentada corresponde a uma escolha conveniente de gauge onde a constante foi posta zero.

Resposta

\displaystyle \vec{A}(\vec{r})=\frac{\mu_{0} i}{2 \pi}\ln\!\left(\frac{r_{2}}{r_{1}}\right)\hat{n}

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