Demonstre que o potencial vetor
A(x)=mu04 pi integral J(y) d y|x-y|
satisfaz nabla cdot A=0, se a corrente for estacionária.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente provar que o potencial vetor
A(x) ;=;mu04piintegral J(y),dy|x-y|
satisfaz
nabla!cdot!A(x);=;0
quando a corrente é estacionária, isto é, .
Conteúdo envolvido: cálculo vetorial (divergência, gradiente), troca de derivada com integral e uso do teorema da divergência em coordenadas .

Passo 2

Vamos começar diferenciando sob o sinal de integral. Como nablax!cdot!A(x) =mu04piintegral nablax!cdot!l(J(y)|x-y|r),dy é integral em nabla!cdot!(phi,v) =v!cdot!nablaphi , podemos levar nablax!cdot!l(J(y)|x-y|r) =J(y)!cdot!nablaxl(1|x-y|r) para dentro:
Aqui usamos a regra de divergência de um escalar vezes vetor:
quando não depende de . Então

Passo 3

Agora lembramos a fórmula do gradiente de nablaxl(1|x-y|r) =-x-y|x-y|^3 :
nablax!cdot!A(x) =mu04piintegral J(y)!cdot!l(-x-y|x-y|^3r),dy =-mu04piintegral J(y)!cdot!(x-y)|x-y|^3,dy
Logo

Passo 4

Repare que
x-y|x-y|^3 ;=;-,nablayl(1|x-y|r)
Substituindo na integral dá
nabla!cdot!A =mu04piintegral J(y)!cdot!nablayl(1|x-y|r),dy
Agora usamos a identidade de integração por partes em integral l(nablay!cdot!(J,phi)r),dy =integral (nablay!cdot J),phi,dy +integral J!cdot!nablayphi,dy, :
integral J!cdot!nablayphi,dy = 0
tomando . Como a corrente é estacionária, . E a parte da divergência integral vira um fluxo na fronteira “no infinito”, que é zero se cai rápido o suficiente. Logo sobra

Resposta

Portanto
nabla!cdot!A(x) = 0,
ou seja, o potencial vetor é de fato divergência nula quando .

Exercícios relacionados