Demonstre que o potencial vetor
satisfaz
, se a corrente for estacionária.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente provar que o potencial vetor
satisfaz
quando a corrente é estacionária, isto é,
.
Conteúdo envolvido: cálculo vetorial (divergência, gradiente), troca de derivada com integral e uso do teorema da divergência em coordenadas .
Conteúdo envolvido: cálculo vetorial (divergência, gradiente), troca de derivada com integral e uso do teorema da divergência em coordenadas
Passo 2
Vamos começar diferenciando sob o sinal de integral. Como
é integral em
, podemos levar
para dentro:
Aqui usamos a regra de divergência de um escalar vezes vetor:
quando
não depende de
. Então
Passo 3
Agora lembramos a fórmula do gradiente de
:
Logo
Passo 4
Repare que
Substituindo na integral dá
Agora usamos a identidade de integração por partes em
:
tomando
. Como a corrente é estacionária,
. E a parte da divergência integral vira um fluxo na fronteira “no infinito”, que é zero se
cai rápido o suficiente. Logo sobra
Resposta
Portanto
ou seja, o potencial vetor é de fato divergência nula quando
.