Calcule explicitamente o campo magnético induzido pelo potencial vetor encontrado no Exemplo 7.4.

Passo 1

Beleza, temos que usar o resultado do Exemplo 7.4, que nos dá um potencial vetor
A( r)=mu04pi, mtimes rr^3,,
onde m é o momento magnético (constante) e r=| r|.
Conteúdo: Magnetostática – relação entre campo magnético B e potencial vetor A, que é
B=nablatimes A,
Vamos precisar
  1. lembrar o operador rotacional (curl) em vetores,
  2. usar um identidade vetorial para facilitar o cálculo de nablatimes( mtimes r/r^3).

Passo 2

Teoria básica: para qualquer campo A, vale
B=nablatimes A,
Aqui m é constante, daí podemos usar a identidade
nablatimes( mtimes V)= m,(nablacdot V)- V,(nablacdot m)+( Vcdotnabla) m-( mcdotnabla) V,
Como m é constante, nablacdot m=0 e ( Vcdotnabla) m=0. Escolhemos V= r/r^3.

Passo 3

Vamos avaliar cada pedacinho:
  1. nablacdot V=nablacdotl( r/r^3r)=0 (fora da origem).
  2. ( mcdotnabla) V é a derivada direcional de V ao longo de m. Pode-se mostrar (usando coordenadas cartesianas ou resultados padrão) que$$(\mathbf m\cdot\nabla)\frac{\mathbf r}{r^3}=\frac{3(\mathbf m\cdot\mathbf r),\mathbf r}{r^5}-\frac{\mathbf m}{r^3},. ( mcdotnabla) rr^3 =3( mcdot r), rr^5- mr^3, \nabla\times\Bigl(\mathbf m\times\frac{\mathbf r}{r^3}\Bigr)
=-(\mathbf m\cdot\nabla)\frac{\mathbf r}{r^3}
=-\Bigl[\frac{3(\mathbf m\cdot\mathbf r),\mathbf r}{r^5}-\frac{\mathbf m}{r^3}\Bigr]
=\frac{\mathbf m}{r^3}-\frac{3(\mathbf m\cdot\mathbf r),\mathbf r}{r^5},. $$

Passo 4

Multiplicando o fator mu0/(4pi) do potencial, obtemos
B( r) =nablatimes A =mu04pi,nablatimesl( mtimes rr^3r) =mu04pil[ mr^3-3( mcdot r), rr^5r],

Resposta

O campo magnético explícito é
$$\boxed{\mathbf B(\mathbf r)
=\frac{\mu_0}{4\pi},\Bigl[\frac{3(\mathbf m\cdot\mathbf r),\mathbf r}{r^5}-\frac{\mathbf m}{r^3}\Bigr],.}$$

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