Calcule explicitamente o campo magnético induzido pelo potencial vetor encontrado no Exemplo 7.4.
Passo 1
Beleza, temos que usar o resultado do Exemplo 7.4, que nos dá um potencial vetor
onde
Conteúdo: Magnetostática – relação entre campo magnético
Vamos precisar
- lembrar o operador rotacional (curl) em vetores,
- usar um identidade vetorial para facilitar o cálculo de
.
Passo 2
Teoria básica: para qualquer campo
, vale
Aqui
Como
é constante,
e
. Escolhemos
.
Passo 3
Vamos avaliar cada pedacinho:
-
(fora da origem). -
é a derivada direcional de ao longo de . Pode-se mostrar (usando coordenadas cartesianas ou resultados padrão) que$$(\mathbf m\cdot\nabla)\frac{\mathbf r}{r^3}=\frac{3(\mathbf m\cdot\mathbf r),\mathbf r}{r^5}-\frac{\mathbf m}{r^3},. \nabla\times\Bigl(\mathbf m\times\frac{\mathbf r}{r^3}\Bigr)
=-(\mathbf m\cdot\nabla)\frac{\mathbf r}{r^3}
=-\Bigl[\frac{3(\mathbf m\cdot\mathbf r),\mathbf r}{r^5}-\frac{\mathbf m}{r^3}\Bigr]
=-\Bigl[\frac{3(\mathbf m\cdot\mathbf r),\mathbf r}{r^5}-\frac{\mathbf m}{r^3}\Bigr]
=\frac{\mathbf m}{r^3}-\frac{3(\mathbf m\cdot\mathbf r),\mathbf r}{r^5},. $$
Passo 4
Multiplicando o fator
do potencial, obtemos
Resposta
O campo magnético explícito é
$$\boxed{\mathbf B(\mathbf r)
=\frac{\mu_0}{4\pi},\Bigl[\frac{3(\mathbf m\cdot\mathbf r),\mathbf r}{r^5}-\frac{\mathbf m}{r^3}\Bigr],.}$$