Demonstre que, para as potências pares de seno,
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral de
no intervalo de
a
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integrais de funções trigonométricas elevadas a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de integração que lidam com potências de seno e propriedades de produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar uma fórmula útil para integrar potências pares de seno. A fórmula geral para
envolve uma redução usando identidades trigonométricas. No nosso caso, como os limites da integral são de
a
, podemos simplificar a expressão.
Passo 3
Usamos a identidade que relaciona a potência par de seno com coeficientes combinatórios:
Essa identidade resulta da aplicação iterativa da fórmula de redução para integrais de potências de seno.
Passo 4
Vamos validar essa identidade usando indução matemática. Para
:
A fórmula também dá:
Portanto, funciona para
. Assumimos que funciona para algum
e mostramos que também funciona para
, confirmando assim a validade da fórmula para todo
natural.
Resposta
Portanto, demonstramos que