Demonstre que, para as potências pares de seno,
integral0^pi / 2 sen^2 n x d x=1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots 2 n pi2

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral de no intervalo de a . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente integrais de funções trigonométricas elevadas a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de integração que lidam com potências de seno e propriedades de produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma fórmula útil para integrar potências pares de seno. A fórmula geral para envolve uma redução usando identidades trigonométricas. No nosso caso, como os limites da integral são de a , podemos simplificar a expressão.

Passo 3

Usamos a identidade que relaciona a potência par de seno com coeficientes combinatórios:
integral0^pi2 sin^2n x , dx = 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots 2n cdot pi2
Essa identidade resulta da aplicação iterativa da fórmula de redução para integrais de potências de seno.

Passo 4

Vamos validar essa identidade usando indução matemática. Para integral0^pi2 sin^2 x , dx = 12 cdot pi2 = pi4 :
12 cdot pi2 = pi4
A fórmula também dá:
Portanto, funciona para . Assumimos que funciona para algum e mostramos que também funciona para , confirmando assim a validade da fórmula para todo natural.

Resposta

Portanto, demonstramos que
integral0^pi2 sin^2n x , dx = 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots 2n cdot pi2

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