Suponha que f seja contínua. f(0)=0, f(1)=1, f^prime(x)>0 e integral0^1 f(x) d x=1 / 3. Encontre o valor da integral integral0^1 f^-1(y) d y.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma função contínua definida no intervalo com as seguintes características: , , a derivada é sempre positiva (o que significa que a função é crescente), e a integral de de 0 a 1 é . Nosso objetivo é descobrir o valor da integral de de 0 a 1. Para isso, vamos usar umas propriedades legais de funções inversas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar uma relação importante entre uma função crescente contínua e sua inversa. Essa relação nos diz que:
integrala^b f(x) , dx + integralc^d f^-1(y) , dy = b cdot d - a cdot c
Aqui, e são os limites para , e , são os limites para . Básicamente, a soma das integrais da função e de sua inversa é igual ao produto dos extremos menos o produto dos iniciais.

Passo 3

No nosso caso, os valores são:
  • integral0^1 f(x) , dx + integral0^1 f^-1(y) , dy = 1 cdot 1 - 0 cdot 0 = 1
Substituindo esses valores na fórmula que a gente lembra:

Passo 4

Sabemos que a integral de 13 + integral0^1 f^-1(y) , dy = 1 de 0 a 1 é . Vamos substituir esse valor na equação que montamos:

Passo 5

Agora, é só resolver para a integral de integral0^1 f^-1(y) , dy = 1 - 13 = 23 :

Resposta

O valor da integral é .

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