Suponha que
seja contínua.
e
. Encontre o valor da integral
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem uma função contínua
definida no intervalo
com as seguintes características:
,
, a derivada
é sempre positiva (o que significa que a função é crescente), e a integral de
de 0 a 1 é
. Nosso objetivo é descobrir o valor da integral de
de 0 a 1. Para isso, vamos usar umas propriedades legais de funções inversas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar uma relação importante entre uma função crescente contínua e sua inversa. Essa relação nos diz que:
Aqui,
e
são os limites para
, e
,
são os limites para
. Básicamente, a soma das integrais da função e de sua inversa é igual ao produto dos extremos menos o produto dos iniciais.
Passo 3
No nosso caso, os valores são:
Substituindo esses valores na fórmula que a gente lembra:
Passo 4
Sabemos que a integral de
de 0 a 1 é
. Vamos substituir esse valor na equação que montamos:
Passo 5
Agora, é só resolver para a integral de
:
Resposta
O valor da integral
é
.