Demonstre que, para potências pares de seno,
integral0^pi / 2 sin ^2 n x d x=3 times 5 times 7 times cdots times(2 n-1)2 times 4 times 6 times cdots times 2 n pi2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n>=1,
I2n ;=;integral0^pi/2sin^2nx,dx ;=; 3times5times7timescdotstimes(2n-1) 2times4times6timescdotstimes2n ;pi2
O conteúdo envolve redução de potências de seno via integração por partes.

Passo 2

Defina
I2n = integral0^pi/2sin^2nx,dx
Para reduzir a potência use integração por partes com
;u=sin^2n-1x,;dv=sin x,dx.
Temos
du=(2n-1)sin^2n-2xcos x,dx, v=-cos x
Logo
I2n =l-sin^2n-1xcos xr|0^pi/2 +integral0^pi/2(2n-1)sin^2n-2xcos^2x,dx
Os termos de fronteira valem zero e cos^2x=1-sin^2x, de modo que
I2n =(2n-1)integral0^pi/2sin^2n-2x,dx -(2n-1)integral0^pi/2sin^2nx,dx
e, isolando I2n, obtém-se
I2n=2n-12n;I2n-2

Passo 3

Aplicando essa relação recursivamente n vezes, escrevemos
I2n =2n-12n;I2n-2 =2n-12n,2n-32n-2;I2n-4 =cdots =(2n-1)(2n-3)cdots1(2n)(2n-2)cdots2;I0

Passo 4

O caso base é
I0=integral0^pi/21,dx=pi2

Passo 5

Substituindo I0=pi/2 na expressão obtida, concluímos
I2n =1times3times5timescdotstimes(2n-1) 2times4times6timescdotstimes2n ;pi2

Resposta

integral0^pi/2sin^2nx,dx =3times5times7timescdotstimes(2n-1) 2times4times6timescdotstimes2n ;pi2

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