Exercício 9 (E.M.3.6)
Seja E um espaço vetorial normado. Se X subset E é convexo, então int (X) é convexo.
Observação: Dizemos que um subconjunto X de um espaço vetorial é convexo se para todo x, y in X e t in[0,1], temos t x+(1-t) y in X.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se Xsubset E é um subconjunto convexo de um espaço vetorial normado E, então o interior de X, denotado por int(X), também é convexo. Vamos usar a definição de interior (ponto interior é aquele que possui uma bola aberta centrada nele contida em X) e a definição de convexidade (segmento que liga dois pontos de X fica todo em X).

Passo 2

Sejam x,yin int(X). Pela definição de interior existem raios varepsilonx>0 e varepsilony>0 tais que
B(x,varepsilonx)subset X, B(y,varepsilony)subset X

Passo 3

Tomemos um parâmetro arbitrário tin[0,1] e definamos
z = t,x + (1-t),y
Para provar que zinint(X), basta encontrar um raio r>0 tal que
B(z,r)subset X

Passo 4

Escolhemos
r = mint,varepsilonx,;(1-t),varepsilony
Note que r>0. Seja agora um vetor arbitrário uin E com |u|<r. Então z+u pode ser escrito de duas maneiras úteis:
z+u = tl(x + tfracutr) + (1-t),y,
e como |u/t|<varepsilonx, temos x+tfracutin B(x,varepsilonx)subset X.
z+u = t,x + (1-t)l(y + tfracu1-tr),
e como |u/(1-t)|<varepsilony, temos y+tfracu1-tin B(y,varepsilony)subset X.
Em cada caso, por convexidade de X, a combinação convexa pertence a X. Logo z+uin X.

Passo 5

Assim mostramos que qualquer z+u com |u|<r fica em X. Logo
B(z,r)subset X,
o que significa zinint(X). Como tin[0,1] era arbitrário, concluímos que int(X) é convexo.

Resposta

A prova acima estabelece que int(X) é convexo.

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