Exercício 9 (E.M.3.6)
Seja
um espaço vetorial normado. Se
é convexo, então int
é convexo.
Observação: Dizemos que um subconjunto
de um espaço vetorial é convexo se para todo
e
, temos
.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um subconjunto convexo de um espaço vetorial normado
, então o interior de
, denotado por
, também é convexo. Vamos usar a definição de interior (ponto interior é aquele que possui uma bola aberta centrada nele contida em
) e a definição de convexidade (segmento que liga dois pontos de
fica todo em
).
Passo 2
Sejam
. Pela definição de interior existem raios
e
tais que
Passo 3
Tomemos um parâmetro arbitrário
e definamos
Para provar que
, basta encontrar um raio
tal que
Passo 4
Escolhemos
Note que
. Seja agora um vetor arbitrário
com
. Então
pode ser escrito de duas maneiras úteis:
e como
, temos
.
e como
, temos
.
Em cada caso, por convexidade de
, a combinação convexa pertence a
. Logo
.
Passo 5
Assim mostramos que qualquer
com
fica em
. Logo
o que significa
. Como
era arbitrário, concluímos que
é convexo.
Resposta
A prova acima estabelece que
é convexo.